标准直齿轮啮合有限元仿真分析-凯发娱乐官网

1. 引言

齿轮传动具有传动平稳、工作可靠、使用寿命长、适用范围广，传递效率高等特点，被广泛地应用于各种机械产品和设备中[1]。齿轮传动过程中由于轮齿之间交替接触、啮合点位置和齿间载荷分配不断改变等原因，齿轮啮合瞬间发生应力变化。因此，研究齿轮啮合及有限元分析对于提高齿轮设计和优化水平、减少实验和成本、提高安全性和可靠性等方面具有重要意义。此外，随着科学技术进步和工业生产的迅速发展，提高齿轮的承载能力越来越受到人们的重视，而齿轮弯曲疲劳强度又是评价齿轮承载能力的一个重要指标。

刘本学和郭沛东在直齿圆柱齿轮高频试验机上对材料号为1818crnimo7-6的直齿圆柱齿轮进行弯曲疲劳试验，获得了该齿轮的疲劳寿命并利用ansys对该合金的齿轮进行了疲劳寿命仿真，结果对比并分析优化了齿轮合适的尺寸参数[2]，魏波从蜗轮蜗杆选择、网格划分、载荷条件3个方面入手，对蜗轮蜗杆的传动受力进行ansys分析，分别研究蜗杆在不同模数、不同头数、不同压力角下所对应的有限元情况，得出蜗杆机械结构优化设计方案[3]，李金良利用solidworks软件对矿用减速器啮合直齿轮进行三维建模，并运用solidworks中的simulation分析软件，对一对啮合的直齿轮进行静力分析，在此基础上，以齿宽为变量，以质量最小为目标，对大齿轮的齿宽参数进行优化设计，并通过matlab编程，得出了大齿轮的齿宽最优值[4]。程文冬认为齿轮啮合疲劳强度的理论计算和虚拟仿真均与实际啮合情况存在偏差，通过仿真和理论分析发现理论计算忽略了轮齿受到的径向压应力，有限元仿真的边界载荷条件更为真实，但结果应当引入载荷因数k进行了修正，仿真提供了设计参考与误差分析的思路，有助于提高齿轮设计的效率和质量[5]。本文以标准渐开线圆柱直齿轮为仿真对象，通过solidworks进行建模，将其导入至ansys workbench中，对齿轮进行稳态分析、模态分析、瞬态分析以及疲劳强度分析，为后续齿轮优化设计提供参考。

2. 齿轮模型建立

2.1. 标准渐开线圆柱直齿轮

渐开线圆柱齿轮是齿轮的齿形由渐开线和过渡线组成的，具有角速不变的特点。标准齿轮：基本参数取标准值，具有标准的齿顶高和齿根高，分度圆齿厚即是齿槽宽的直齿圆柱齿轮称为标准齿轮，不能同时具备上述特征的直齿轮都是非标准齿轮[6]，如图1为标准直齿圆柱齿轮。

渐开线齿轮具有良好的传动性能，渐开线的形成为一条直线bk在圆上作纯滚动作纯滚动时，直线上任意一点k的轨迹称为该圆的渐开线。该圆称为渐开线的基圆，半径用rb表示，直线bk称为渐开线的发生线。如图2示：

figure 1. standard straight cylindrical gear

图1. 标准直齿圆柱齿轮

figure 2. involute

图2. 渐开线

2.2. 渐开线圆柱齿轮模型的建立

本文在solidworks中使用参数化的建模方式进行建模，分别输入渐开线直齿轮的几何参数，并导入进solidworks的方程式模块中如图3，然后将渐开线方程同时也输入进行得到渐开线，然后更改尺寸方程式进行标准渐开线圆柱齿轮模型的建立。并将建立好的齿轮模型进行装配啮合，建立的几何模型如图4所示，其中齿轮的材料参数和几何参数如表1所示：

table 1. basic geometric parameters of gears

表1. 齿轮基本几何参数

续表

figure 3. solidworks equation tool module

图3. solidworks方程式工具模块

figure 4. standard involute cylindrical spur gears

图4. 标准渐开线圆柱直齿轮

3. 稳态分析和疲劳分析

将建立好的齿轮装配体模型导入ansys workbench中，建立相应的静态分析、模态分析和瞬态分析模块，设定齿轮的材料，选取结构钢作为两啮合齿轮的材料，齿轮材料参数如表2所示：

table 2. gear material parameters

表2. 齿轮材料参数

导入模型并完成材料赋值后，由于两齿轮啮合存在接触，设定连接时将接触类型设置为摩擦接触，摩擦系数给定为0.15，进行网格划分时，整体采用四面体网格，将全局网格大小设置为1 mm，然后再对啮合部分的齿轮网格进行局部加密，局部加密的尺寸改为0.1 mm。划分后的网格如图5所示：

figure 5. mesh division

图5. 网格划分

figure 6. stress nephogram

图6. 应力云图

figure 7. fatigue life nephogram

图7. 疲劳寿命云图

进行边界的处理，对从动轮即大齿轮固定支撑，给主动轮即小齿轮给一个顺时针的10 nm的扭矩，最后进行求解得到应力云图，可以得到在主动轮齿轮齿尖部分会出现一个应力峰值，最大为152.26 mpa，如图6所示，进行疲劳分析得到此位置的疲劳寿命为69,721，如图7所示。

通过稳态分析，齿轮啮合时的应力分布被求解，结果显示在小齿轮的齿尖部分应力达到最大值为152.26 mpa。这一结果表明，齿轮啮合时，齿尖部位由于接触应力集中，成为应力集中的区域。接触应力的集中通常是由于几何形状和接触面条件所引起的。应力集中会导致该区域的疲劳寿命较短，疲劳分析结果进一步确认了这一应力集中区域的疲劳寿命为69,721次。尽管该值较高，但在高载荷、高速运行的条件下，可能会导致早期疲劳失效。因此，如何减小应力集中区域的负载，延长其疲劳寿命是值得关注的设计优化方向。

4. 模态分析

将其几何模型共享至模态分析中，通过划分网格，对其相应的齿轮设置施加固定约束，提取前6阶模态并计算出固有频率如表3所示，振型如图8所示。

table 3. intrinsic frequency of gears

表3. 齿轮的固有频率

模态分析提取了大小齿轮的前六阶的固有频率和对应的振型，齿轮的固有频率和振型是其振动特性的重要指标[7]，低阶模态的振动特性对齿轮系统的稳定性影响较大。结果表明，小齿轮的1阶振型和4阶振型为圆周振动，2、3阶振型为一阶对折振动，5、6阶为二阶对折振动。而大齿轮的1、2阶振型为一阶对折振动，3、4阶为圆周振动，5、6阶为二阶对折振动。分析显示，低阶模态对齿轮系统的动态性能具有显著影响，尤其是对折振动。这种振动形式对齿轮系统的振动特性有较大影响，可能导致齿轮在特定工作条件下产生共振，进而影响齿轮传动的稳定性和寿命。通过分析这些模态，可以帮助识别齿轮系统的薄弱环节，从而优化设计以避免共振问题。

figure 8. first 6 orders of vibration patterns of large and small gears

图8. 大小齿轮的前6阶振型

5. 齿轮啮合瞬态动力学分析

5.1. 动力学方程

模态分析用于确定系统的固有频率和振型，从而为瞬态动力学分析提供基础[8]。而瞬态动力学分析则能模拟齿轮在特定时间域内的动力响应，帮助我们深入了解齿轮在实际工作环境下的变形、应力和振动特性。

在齿轮啮合分析中，齿轮系统的动力学行为可通过经典的动力学方程来描述，表达式为：

m x ″ c x ′ kx=f( t ) (1.1)

在齿轮啮合过程中，动力学方程用于模态分析和瞬态动力学分析，以获得齿轮在不同边界条件下的动态响应，包括位移变形、受力状态和应力分布等。

5.2. 基于赫兹理论的齿面强度理论计算

齿轮啮合时，部分靠近节线处的相对滑动速度较低，容易润滑不良，会产生较大的摩擦力，因此需要考虑此处的理论上的应力强度。而赫兹接触理论适用于两曲面(例如齿轮齿廓之间的接触区域)在有限的接触面积内相互压缩的情况，能够计算接触压力和接触区域的大小，进而评估齿面强度。齿面接触应力的计算是基于两圆柱体接触时的最大接触应力推导出来的，圆柱体接触如图9所示，根据渐开线齿廓的性质，在齿轮啮合过程中，齿轮表面在不同的啮合位置相互接触。由于啮合点的曲率半径不断变化，整个过程可以视为两曲率半径随时间变化的平行圆柱体之间的接触过程。

通过将齿轮齿廓的瞬时接触情况简化为平行圆柱体的接触分析，赫兹接触理论能用来计算齿轮齿面的接触应力。

figure 9. cylinder contact

图9. 圆柱体接触

因此得到计算齿轮齿面最大接触应力的理论公式为

σ h = f n ( 1 ρ 1 1 ρ 2 ) π( 1− μ 1 2 e 1 1− μ 2 2 e 2 )l (1.2)

在该式中，σ h 为接触应力；f n 为沿齿轮接触线的法向力，f n = 2t dcosα ；ρ 1 、ρ 2 两啮合齿轮的节点处的曲率半径；μ 1 、μ 2 为两接触齿轮材料的泊松比；e1、e2为两齿轮材料的弹性模量；l为接触线长度，其中l= 3b 4− ε α ，ε α 为端面重合度。端面重合度可以通过标准外啮合圆柱直齿轮的端面重合表计算得到。通过该公式代入数据计算得齿轮啮合模型的齿面的最大接触应力为6.16 mpa。

5.3. 瞬态动力学分析

5.3.1. 分析步骤

将大小齿轮的材料设定为结构钢，并将大小齿轮的齿面定义为接触面，其中大齿轮的齿廓被设定为目标面。对整个模型采用四面体网格划分，完成后对局部齿轮区域进行加密细化。接触方式设置为摩擦接触，摩擦系数为0.15，法向刚度系数为0.01。更新刚度设置为每次迭代进行调整。在分析设置中，计算总时长为1秒，初始子步长为25，最小子步为20，最大子步为250，并启用弱弹簧功能。随后对小齿轮施加360˚的旋转副，对大齿轮施加1000 n·mm的扭矩。设置完成后，进行后处理和结果分析。

5.3.2. 瞬态动力学结果分析

通过仿真得到齿轮啮合的瞬态动力学结果(见图10)：

figure 10. transient simulation results

图10. 瞬态仿真结果

在齿轮啮合分析中，采用四面体网格对整体进行划分，并在啮合部位实施局部加密处理。对等效应力随时间变化的数据进行分析后发现，齿轮刚开始接触时，等效应力值达到峰值并呈现较大波动，随着时间推移，等效应力逐渐趋于平稳。仿真结果显示，齿轮的接触应力与基于赫兹理论计算的接触应力值基本一致，进一步验证了仿真的准确性。

6. 结论

本文通过对标准渐开线直齿轮啮合过程的有限元分析，分别采用了稳态分析、模态分析、瞬态动力学分析以及疲劳寿命评估等多种方法，对齿轮啮合过程中的应力分布、振动特性和疲劳性能进行了详细研究。

在齿轮啮合过程中，齿尖部位的应力最大，达到152.26 mpa。由于应力集中，该区域的疲劳寿命较低，约为69,721次，表明此处容易发生疲劳失效，因此设计时应重点考虑降低齿尖的应力集中。然后提取了前六阶模态和对应的固有频率。分析结果表明，低阶模态对齿轮的振动影响较大，尤其是对折振动对系统的动态稳定性有显著影响；瞬态动力学分析表明，在齿轮啮合的初始阶段，齿轮接触部位的等效应力波动较大，随着时间的推移应力逐渐趋于稳定。赫兹理论计算结果得到的齿轮齿面接触应力为6.16 mpa，通过仿真得出的接触应力值与理论值基本一致，验证了仿真结果的准确性。

本文的仿真结果为齿轮设计优化提供了参考，尤其是在减小应力集中、提高疲劳寿命、避免系统共振等方面具有指导意义。

参考文献