1. 引言
小行星主要位于火星和木星轨道之间，小行星主带的半长轴范围为2.1~3.3 au；小行星主带又分三部分：内主带、中央主带和外主带，半长轴范围分别为2.1~2.5 au、2.5~2.8 au和2.8~3.3 au。除了主带之外，其它几个区域也分布着一些小行星：轨道半长轴为1.75~2.05 au的小行星称为hungarla小行星，轨道半长轴为3.3~3.5 au的小行星称为cybele小行星，轨道半长轴约为4 au的小行星称为hilda小行星，轨道半长轴约等于木星轨道半长轴的小行星称为trojan小行星 [1] 。
已经观测到并且编号的小行星有383,000颗，已经观测到尚未编号的小行星还有260,000颗 [2] 。直径超过500千米的小行星有3颗，分别是谷神星、灶神星和智神星，直径分别为945、519和514千米 [3] - [6] 。以前，天文学界都认为谷神星是最大的小行星，可是2006年国际天文学联合会通过决议把谷神星升级为矮行星；所以现在灶神星被称为最大的小行星，而fernández et al. (2015) 给出的灶神星的直径为560千米 [2] 。直径大于10千米的小行星大约有1000颗，直径大于100千米的小行星大约有100颗 [7] 。小行星虽然数量众多，可是由于体积小，所以它们的总质量却小于地球质量的千分之一 [8] ，仅为地球质量的万分之六 [9] 。
小行星的化学成分和密度差异较大，大多数小行星是一些形状很不规则、表面粗糙结构松散的硅酸盐石块，密度约为
；具有挥发性的小行星的密度约为
[2] [10] ，石-铁结构的小行星的密度约为
[10] ，而铁结构小行星的密度可以超过
[6] [11] 。大多数小行星的都存在自转，体积较大的小行星自转周期较长，自转周期一般大于2.4小时；而体积较小的小行星自转周期较短，某些体积特别小的小行星的自转周期只有30秒 [12] 。有些小行星还拥有自己的卫星，或者是两颗小行星组成双星系统 [13] - [15] 。小行星在椭圆轨道上绕日公转，如果一颗小行星的近日点距离小于1.3 au，就被称为近地小行星，有可能撞击地球 [2] 。
小行星的质量虽然不大，但是小行星撞击地球产生的影响却很大。2013年2月15日，一颗直径13.7米的小行星在俄罗斯车里雅宾斯克州上空爆炸，造成上千人受伤。1908年，一颗直径40米的小行星在俄罗斯西伯利亚通古斯上空爆炸，毁坏了2000平方公里的森林 [16] 。目前，关于恐龙灭绝的主流理论就是在6500万年前，一颗直径约为10千米的小行星撞击到北美洲尤坦卡半岛的浅海海域，恐龙适应不了环境巨变，在撞击后很短的时间内就全部灭绝了 [2] [17] 。小行星撞击地球的能量越大，引发环境巨变的能力越大，引起生物灭绝的能力也就越大。小行星质量越大，撞击能量也就越大，这是显而易见的。而小行星撞击地球时的速率差异，也会影响撞击能量。本文主要研究小行星远日点距离和近日点距离的差异，将会在多大程度上影响灭绝恐龙的那颗小行星撞击地球的能量。
2. 计算方法
2.1. 小行星撞击地球过程中的几个近似假设
小行星撞击地球的过程比较复杂，我们作以下几个假设。小行星原来在正圆轨道上绕日公转，由于受到某种扰动或者作用力的影响(究竟这种扰动或者作用力是怎样产生的，本文不做探讨)，小行星的公转轨道变成椭圆，并与地球公转轨道有交叉点。小行星椭圆轨道远日点距离就是小行星原来的轨道半径，近日点距离小于或者等于日地距离。地球公转轨道的椭率很小，近似认为地球的公转轨道是正圆，而且不考虑地球自转。小行星在撞击地球的过程中，不考虑空气摩擦。
本文的主要目标是分别探讨小行星公转轨道的远日点距离和近日点距离的不同，对小行星撞击地球时的动能的影响。尽管小行星的直径、形状和密度有所差异，可是为了减少变量，小行星都近似看成直径相同的球体，密度也都采用相同的数值。根据直径和密度，就可求出小行星的质量：
(1)
2.2. 轨道相切
小行星轨道在黄道面上，远日点距离为
，近日点距离等于地球的公转半径，即
；则小行星可能会在近日点被地球捕获，并最终撞击地球，如图1所示。在本文中，日地距离采用allen (1973)的数据，即
等于1.0009 au [18] 。小行星绕太阳公转，受到太阳的引力是有心力，小行星的轨道角动量守恒；而且在近日点和远日点，小行星的公转速度方向与矢径方向垂直，必有：
(2)
小行星受到太阳的引力也是保守力，机械能守恒：
(3)
联立(2)、(3)二式，可得：
(4)
小行星在近日点的速度为
，地球的公转速度
，而且
。所以，小行星刚被地球引力捕获时，相对于地球的速度为：
(5)
小行星在撞向地球的过程中，只有地球引力做功，机械能守恒：
整理该式，可以求出小行星撞击地面时相对于地球的速率：
(6)
最后可以求出小行星撞击地面时的动能：
(7)
2.3. 轨道穿插
小行星轨道在黄道面上，远日点的距离为
，近日点的距离小于地球的公转半径，即
；则小行星的椭圆轨道和地球的正圆轨道有两个交叉点，小行星可能会在交叉点被地球捕获，并最终撞击地球，如图2所示。根据小行星轨道的
和
，可以求出轨道半长轴
和椭率
：
，
(8)
椭圆轨道的机械能和角动量分别为：
，
(9)
根据机械能守恒定律，小行星在轨道交叉点的公转速率满足：
整理可得：
. the diagram that an asteroid’s orbit is tangential to the earth’s orbit
图1. 小行星轨道和地球轨道相切的示意图
. the diagram that an asteroid’s orbit crosses the earth’s orbit
图2. 小行星轨道和地球轨道互相穿插的示意图
(10)
小行星在轨道交叉点的公转横向速率满足：
(11)
进而可以求出小行星在轨道交叉点的公转径向速率：
(12)
小行星刚被地球捕获时，相对于地球的速度和速率分别为：
，
(13)
然后根据(6)、(7)式，可以求出小行星撞击地面时的动能。
2.4. 撞击升温
小行星的比热为
，如果小行星撞击地球的动能全部转化成自身的内能，根据能量守恒定律，可以
求出自身升高的温度
：
(14)
3. 计算结果
3.1. 小行星的质量
6500万年前，灭绝恐龙的那颗小行星的直径约为10千米 [17] ；大多数小行星的密度为
[2] [10] ，在本文中我们采用中间值
。根据公式(1)，可以求出灭绝恐龙的那颗小行星的质量为
。
3.2. 小行星刚被地球捕获时的绝对速率
关于小行星的远日点距离
，在本文中我们采用7组数据，分别是hungarla小行星的平均轨道半长轴1.90au，小行星主带的内边界2.15 au，小行星主带的中间值2.65 au，小行星主带的外边界3.25 au，cybele小行星的平均轨道半长轴3.50 au，hilda小行星的平均轨道半长轴3.95 au，trojan小行星的平均轨道半长轴等于木星的轨道半长轴 [1] 。allen (1973)给出的木星轨道半长轴为5.2075 au [18] ，所以在本文中trojan小行星的平均轨道半长轴采用5.2075 au。小行星的近日点距离
分别采用1.0009、0.95、0.90、0.85、0.80、0.75、0.70、0.65、0.60、0.55和0.50 au；
等于日地距离对应的是轨道相切的情况，而
小于日地距离对应的是轨道穿插相切的情况。根据公式(4)和(10)可以求出小行星刚被地球捕获时的绝对速率(小行星相对于太阳的速率)，详见表1。通过公式(4)、(8)、(10)可以推出：
越大，小行星刚被地球捕获时的绝对速率越大；
越大，小行星刚被地球捕获时的绝对速率也越大。我们的计算结果也给出了相同的结论，详见表1。
3.3. 小行星刚被地球捕获时的相对速率
根据公式(5)和(13)可以求出小行星刚被地球捕获时的相对速率(小行星相对于地球的速率)，详见表2。
越大，小行星的机械能越大；
越大，轨道越扁，它被地球捕获时，自身运动方向与地球运动方向的
. the absolute velocity of an asteroid, when it is just captured by the earth. the velocity is in unit of m/s
表1. 小行星刚被地球捕获时的绝对速率，单位是m/s
. the relative velocity of an asteroid, when it is just captured by the earth. the velocity is in unit of m/s
表2. 小行星刚被地球捕获时的相对速率，单位是m/s
夹角也就越大；所以，
越大，小行星刚被地球捕获时的相对速率越大。我们的计算结果也给出了相同的结论，详见表2。
越小，小行星的机械能也越小，它被地球捕获时的绝对速率也就越小；可是
越小，轨道越扁，它被地球捕获时，自身运动方向与地球运动方向的夹角反而越大，相对速率可能会变大。所以，当
变小时，很难通过理论分析来确定小行星刚被地球捕获时的相对速率到底是变小还是变大。而我们的计算结果清晰的显示：当
变小时，相对速率反而会变大，详见表2。
3.4. 小行星撞击地面时的速率和动能
小行星在撞击地球的过程中，只有地球引力做功，根据公式(6)可以求出小行星撞击地面时的速率，详见表3。根据公式(7)，可以求出小行星撞击地面时的动能，详见表4。我们的计算结果显示：
越大，
. the velocity of an asteroid, when it is hitting the earth. the velocity is in unit of m/s
表3. 小行星撞击地面时的速率，单位是m/s
. the kinetic energy of an asteroid, when it is hitting the earth. the energy is in unit of the joule
表4. 小行星撞击地面时的动能，单位是焦耳
小行星撞击地面时的速率和动能越大；
越小，小行星撞击地面时的速率和动能越大；最大动能是最小动能的5.4340倍。
小行星的密度和岩石很接近，它的比热也可以采用岩石的比热：
。以
，
的轨道穿插的撞击情况为例，根据公式(14)，可以求出小行星自身会升温290,017摄氏度。岩石的熔点约为1500摄氏度，地面的平均温度约为15摄氏度；小行星自身升温290,017摄氏度就意味着小行星自身会熔化195次。实际上，小行星自身剧烈升温后，不可避免的会向周围环境散热。小行星自身熔化195次，实际上意味着小行星会将自身及其周围194倍自身质量的地壳全部熔化。
地壳厚度分布不均匀，大洋底部的地壳最薄，厚度约为几千米；而青藏高原的地壳最厚，厚度约为几十千米。引起恐龙灭绝的那颗小行星直径约为10千米，撞击点位于北美洲尤坦卡半岛附近的浅海海域
. the kinetic energy of an asteroid, when it is hitting the earth. the energy is in unit of trillion tons of tnt
表5. 小行星撞击地面时的动能，单位是万亿吨tnt当量
[2] [17] ，那里的地壳厚度可以近似认为是20千米。小行星可以将194倍自身质量的地壳全部熔化，就意味着小行星可以将撞击点附近很大范围内的地壳全部撞穿，地幔物质喷涌而出，引起大规模的火山爆发，火山灰遮天蔽日达数年之久，气温骤降，最终导致恐龙灭绝。
4. 讨论
4.1. 与前人工作对比
引起恐龙灭绝的那颗小行星撞击地球的能量相当于100 万亿吨tnt当量 [19] 。1吨tnt炸药释放的能量为
，这样就可以把撞击能量表示成tnt当量的形式，详见表5。通过表5可以看出，对于轨道相切的撞击情况，我们的计算结果与100万亿吨tnt当量相比，明显要小很多；而对于轨道穿插而且r1介于0.50~0.65au的撞击情况，我们的计算结果与100万亿吨tnt当量基本一致。
4.2. 太阳演化对地球和小行星轨道的影响
本文根据现在的地球轨道半长轴和小行星带轨道半长轴，算出了小行星撞击地球的能量。可是灭绝恐龙的那颗小行星是在6500万年前撞击地球的，当时的地球轨道半长轴和小行星带轨道半长轴是否和现在一样呢？一方面，太阳在演化的过程中由于热核反应和星风会损失质量，而太阳质量损失会导致行星轨道向外迁移 [20] [21] 。另一方面，太阳和行星之间有潮汐作用，潮汐力会引起行星轨道向内迁移 [21] - [25] 。不过，太阳在主序阶段这两个效应都很弱，对行星轨道的影响都很小；从6500万年前到现在，由于这两个效应而引起的地球轨道半长轴和小行星带轨道半长轴的相对变化量仅为十万分之一 [26] 。
致谢
本项研究工作得到了普洱学院自然科学基金(基金号：k2015030)、云南省教育厅自然科学基金(基金号：2012y和2014y)和国家自然科学基金(基金号：11265012)的支持。