光子灯笼中模式耦合及其对光束质量的影响-凯发娱乐官网

1. 引言

光子灯笼是一种全光纤结构的线性光学器件，由多根单模光纤经拉锥而成 [1] [2] ，光子灯笼最早应用在天文学光谱滤波和空分复用(sdm)领域。目前人们将光子灯笼应用于光纤横模(模式)的自适应空间控制中 [3] ，并表现出了其独特优势。基于光子灯笼模式自适应控制，实现了对高功率光纤激光的模式不稳定(tmi)的控制，实验结果显示光子灯笼模式自适应控制可以大大提高tmi的阈值 [4] 。模式的自适应控制，在激光应用具有重要应用，比如：激光切割技术中有时需要环形光束进行钻孔 [5] ；基于空分复用的光通信系统需要利用高阶模式以提高通信容量 [6] ；对于高功率激光器，希望得到接近衍射极限的基模光束 [7] 等。

用于模式控制的光子灯笼，与最早用于天文光谱测量中的光子灯笼在结构上不同，如图1所示。用于模式控制的光子灯笼其形状与合束器类似，但光子灯笼的拉制要求更高，除了满足绝热近似要求外，还对输出模式与合束输入端单模光纤数以及排布有严格要求 [6] 。光子灯笼的输入端单模光纤的输入光初始相位、振幅等参量，对光束在光子灯笼中的演化和输出模式产生严重影响。为了分析光子灯笼中输入各通道的功率占比(振幅)、相位和偏振，对输出的耦合效率和光束质量的影响，本文中第二节将介绍光子灯笼中的结构与模式关系、模式相干叠加的一般理论、光束质量m²的理论计算方法。第三节主要通过数值计算，分析输出光斑形态、耦合效率和光束质量随模式间相位差、功率占比以及偏振的变化规律，并分析输入端振幅、相位和偏振对光子灯笼模式控制的影响。

2. 基本原理

2.1. 光子灯笼结构与模式

为了使光子灯笼能对输出模式进行控制，光子灯笼的拉制在满足绝热条件的同时，其输入端单模光纤数与输出端结构的等效v数有一定的要求，这是由于多模光纤中v数与光纤中可以存在的模式数有一定的对应关系。因此光子灯笼中输出端由等效v数所确定的可以存在的模式数与输入端单模光纤数必须相等 [1] [7] [8] ，图2从物理图像上表示了这种关联，例如当等效v数大于3.83而小于5.13时(图中第三行)，对应输出端可以存在的6个模式(图中第二行)，则输入端单模光纤数应为6路，且其排布也有要求，以降低损耗 [6] ，如图中第一行所示。因此，光子灯笼在制作过程中，输入端的单模光纤数、以及几何排布必须满足一定规则，如图2所示。

2.2. 模式相干叠加的一般理论

由于光子灯笼中存在的 l p m n 模具有正交性、叠加性，当相干光注入系统时，在光纤不太长或经过光

程补偿的条件下，这些 l p m n 模式是相干的，此时输出光场可写为 [9] ：

e ( r , ϕ ) = { ∑ m , n η m n p m n j m ( u m n r / a ) j m ( u m n ) cos ( m ϕ ) e i ψ m n , 0 ≤ r ≤ a ∑ m , n η m n p m n k m ( w m n r / a ) k m ( w m n ) cos ( m ϕ ) e i ψ m n , a ≤ r ≤ b (1)

其中 η m n 是在相干叠加过程中 l p m n 模式的功率占比，在实际系统中，受到环境的影响，输入振幅会发生随机变化，进而引起 η m n 的变化，当然，也可以通过外加的控制对各通道输入的振幅进行调节。 ψ m n 是 l p m n 模式的相位，由三部分构成，即 ψ m n = ψ l ψ n ψ m ， ψ l 为 l p m n 模式在传输过程中产生的相位，可由 ψ l = β m n ⋅ l 计算得来(其中 β m n 为 l p m n 模式的传播常数，l为 l p m n 模式的传播距离)； ψ n 为 l p m n 模式的随机相位变化； ψ m 为控制系统外加的相位。另外，考虑到一些 l p m n 模式存在两个偏振态，故偏振也可能是影响叠加光场的因素之一。

在光子灯笼各通道进行耦合时，振幅和相位对耦合效率的影响如下 [3] ：

η = 1 n | ∑ m = 1 n p m e j θ m | 2 ∑ m = 1 n p m (2)

其中， p m 是光子灯笼第m通道的功率，在小振幅误差条件下，耦合损耗 ( 1 − η ) 与 ( σ p 2 ) / p 2 成正比，其中p为每个通道的标称功率， σ p 为输入通道功率的标准差；相似地，随机相位变化( ψ n )对耦合损耗的影响也满足 ( 1 − η ) ~ σ θ 2 。

2.3. 光束质量m²的理论计算方法

m²因子是一种应用广泛且被大家所接受的光束质量评判参数 [9] ，能够反映光束在传输过程中的质量特性 [10] 。20世纪90年代初，a.e.siegman引入空间频率和强度矩的概念，总结出基于二阶强度矩的m²因子计算方法。以 x 方向为例，设一光束的光场用 e ( x ) 表示，则其对应的空间频谱为 e ^ ( s ) ，则该光束的m²因子可表示为：

m x 2 = 4 π σ x σ s (3)

其中二阶强度矩σ_x和σ_s分别为：

σ x 2 = ∫ − ∞ ∞ ( x − x ¯ ) 2 i ( x ) d x ∫ − ∞ ∞ i ( x ) d x , σ s 2 = ∫ − ∞ ∞ ( s − s ¯ ) 2 i ^ ( s ) d s ∫ − ∞ ∞ i ^ ( s ) d s (4)

而 x ¯ 和 s ¯ 分别为空间和频域的重心：

x ¯ = ∫ − ∞ ∞ x i ( x ) d x ∫ − ∞ ∞ i ( x ) d x , s ¯ = ∫ − ∞ ∞ s i ^ ( s ) d s ∫ − ∞ ∞ i ^ ( s ) d s (5)

根据式(3)可以数值计算输出光束的 m x 2 和 m y 2 ，实现对光束质量的评价，并为后续控制算法的评价函数提供依据。

3. 仿真结果及分析

3.1. 耦合结果随影响因素的变化规律

从两个 l p m n 模式的相干叠加数值计算入手，得到输出光斑形态、耦合效率和光束质量随模式间相位差、功率占比以及偏振的变化规律。

以 l p 01 模式和 l p 11 模式的相干叠加为例，根据式(1)可知， l p 01 模式和 l p 11 模式(暂不考虑偏振)相干叠加的光场表达式为：

e = { η p 01 j 0 ( u 01 r / a ) j 0 ( u 01 ) 1 − η p 11 j 1 ( u 11 r / a ) j 1 ( u 11 ) cos ( ϕ ) e − i δ φ , 0 ≤ r ≤ a η p 01 k 0 ( w 01 r / a ) k 0 ( w 01 ) 1 − η p 11 k 1 ( w 11 r / a ) k 1 ( w 11 ) cos ( ϕ ) e − i δ φ , a ≤ r ≤ b (6)

3.1.1. 模式间相位差对耦合结果的影响

假设两模式耦合时， l p 01 模式和 l p 11 模式的功率占比和偏振状态固定，而两模式间的相位差 δ φ 从小到大变化(这里只考虑确定的相位差，而不考虑随机抖动的相位变化)。例如：当 l p 01 模式和 l p 11 模式的功率占比为4:1保持不变，且 l p 11 模式只考虑一个偏振态时，可以得到叠加结果随 δ φ 的变化，如图3所示。

可见，耦合效率和m²因子随相位差 δ φ 的变化是周期性的，且周期为π。特别地，当高阶模成分比较低时，可以通过控制 δ φ ，很好的的提高光束质量。

3.1.2. 模式功率占比对耦合结果的影响

考虑功率占比h对叠加结果的影响：假设两模式耦合时， l p 01 模式和 l p 11 模式的相位差和偏振固定，而两模式的功率占比变化。比如：当 l p 01 模式和 l p 11 模式的相位差为0， l p 11 模式只考虑一个偏振态时，可以得到叠加结果随h的变化(如图4所示)。

可以看到， δ φ ≠ π 且 δ φ ≠ 0 时，耦合效率随 η ( l p 01 ) 的增加而降低。同时，也随 η ( l p 01 ) 的增加而降低，且类似抛物线型，说明随着高阶模成分的增加，光束质量越差。

3.1.3. 偏振对叠加结果的影响

将上述参与耦合的单偏振的 l p 11 模式更替为两个偏振态 l p 11 模式的组合，通过数值计算发现： l p 11 o 模式和 l p 11 e 模式的占比不同时，得到的光斑形态不同，但与模式耦合后的效率以及m²因子的数值并没有改变。

综上，在两个 l p m n 模式相干叠加时：相位差对耦合效率和m²因子的影响是周期性的；高阶模功率占比提升会使光束质量迅速下降；偏振会改变相干叠加的光斑形态而不影响光束质量；m²因子相同的输出可能对应着不同相位和功率占比的组合。

3.2. 三通道光子灯笼中的模式控制

上一节展示了振幅、相位、偏振对叠加结果不同程度的影响。结合2.1中的理论，以及三通道和六通道光子灯笼实际参数，进行仿真计算，得到光子灯笼单模输入端的振幅、相位和偏振对输出端模式控制的影响。

三通道光子灯笼是由三根单模光纤拉制而成，其输出模式为 l p 01 、 l p 11 o 和 l p 11 e 三个模式，如图2所示。由于三根输入单模光纤间的相位、振幅等因素的影响，其光子灯笼的输出呈现出不稳定模式变化，其变化表现为 l p 01 、 l p 11 o 和 l p 11 e 三个模式叠加行为 [3] 。我们对其变化规律进行了数值计算，图5(a)显示了三通道的光子灯笼中 l p 01 模式、 l p 11 o 模式和 l p 11 e 模式叠加时，光束质量与各模式功率占比的关系，依然符合高阶模含量越高，光束质量越差的基本规律，通过提升耦合过程中基模的功率占比，可以使输出端的光束尽量靠近基模状态；图5(b)显示了 l p 11 o 模式和 l p 11 e 模式相对 l p 01 模式间的相位差对光束质量产生的影响，此时m²因子随相位的变化仍是周期性的，且在 ψ m n = k π ，k为整数时，取到极小值。结合图5(a)、图5(b)可知，欲使输出端的模式控制在基模状态(m²因子较小)上，至少要同时控制参与耦合模式的振幅和相位两个变量。

在三通道的光子灯笼中，假设输入段光场已按不同模式传播了距离l，则其耦合前已存在的 ψ l 可以按照 ψ l = β m n ⋅ l 的方式来计算。因此要控制各通道相位使得 ψ n ψ m = k π − ψ l (其中为整数)，此时耦合效率和光束质量都能得到较好的值，光斑形态基本成基模样式。而对于功率占比的控制，应在保证基膜含量较高的前提下，把控制重点放在减小功率随机变化量上(即减小 σ p )，以提高整个器件的耦合效率。

当光子灯笼扩展到六通道时，不同叠加方式形成的光斑形态更为丰富，给模式控制得到的结果提供了更多可能。六通道光子灯笼是由六根单模光纤拉制而成，其输出应为六个模式如图2所示。在图6中第一行给出了六通道光子灯笼中可以输出的六个模式，第二行给出了六通道输入经演化耦合后，输出可能出现六个模式叠加的光斑形态。

依旧以控制输出到基模状态为例：当同时改变六个通道的相位和功率占比时，我们可以得到的最优的光束质量 ( m x 2 m y 2 ) 在2.03附近，该值在 η ( l p 01 ) 较高、 φ ( l p m n ) = 0 或p或2p时取到；而当 η ( l p 01 ) = 0.702 ， η ( l p 11 o ) = 0.013 ， η ( l p 11 e ) = 0.254 ， η ( l p 21 o ) = 0.021 ， η ( l p 21 e ) = 0.002 ， η ( l p 02 ) = 0.008 时，控制相位在0或p或2p附近的合适且相对稳定的值时，可以使 m x 2 m y 2 = 2.07 ，此时对应的 σ p = 0.28 ，保证了可接受的耦合损耗，得到的光斑形态也与基模相一致。这说明光子灯笼能够通过控制输入端的振幅、相位等因素，实现输出端的模式控制。

4. 结论

本文主要讨论了光子灯笼中存在的模式在相干叠加的模型下，不同模式间的相位差、功率占比以及偏振对耦合效率h和光束质量m²因子的影响，分析了光子灯笼如何对输入端进行控制以实现输出端的模式控制。通过以上工作，我们得出：耦合效率h和光束质量m²因子的数值随基模功率占比 η ( l p 01 ) 的增加而降低；而随着模式间相位差的改变，耦合效率h和光束质量m²因子呈周期性变化。将以上结果应用在光子灯笼的模式控制中，需要同时控制光子灯笼输入端的功率占比和相位两个变量，且在得到较为理想的输出(比如m²因子较低的基模)后，要尽量减小这两个变量的标准差( σ p ， σ θ )，以提升耦合效率。若要利用光子灯笼实现特殊光斑的输出，则需同时控制振幅、相位以及偏振三个因素，并在控制系统中对评价函数进行特殊地设定。

参考文献