犹豫模糊语言环境下基于shapley值和三支决策的多属性群决策方法研究-凯发娱乐官网

1. 引言

多属性决策(madm)是决策研究领域的一个重要分支，根据某个备选方案在多个指标/属性下的评价信息综合评价该备选方案的“价值” [1]，将方案进行排序，给出最优方案。多属性群决策则是对传统的多属性决策的延伸，群决策弥补了单个决策者评价信息有限的不足，提高了决策结果的准确性。多属性决策的应用领域十分广泛，包括供应商选择 [2] - [7]，设施选址 [8]，信用风险评估 [9]，人事招聘 [10]，医院评价 [11]，应急响应 [6] [12]，军事 [13] [14] [15] 及其它领域等 [16] [17] [18] [19]。在群决策中一个重要研究问题便是如何最小化个体决策和最终群决策的一致性，让个体决策者对方案的认同态度相差最小，降低最佳方案的争议性。如在企业员工招聘时，需要4位经理为员工打分，假设打分结果分别为50，82，86，91，显然最低分和最高分相差较大，如何综合经理打分尤为重要。根据已有研究 [20] [21] [22]，可以通过建立最小化个体和群体决策偏差的目标优化模型求解得出最终结果。

在多属性决策中，一个基本问题便是采取何种数据类型对方案属性进行评价，通常包括定量或定性的评价方式。前者目前已经有广泛的研究，如常见的实数或区间类型 [13]。然而，面对日益复杂的决策环境，不确定性逐渐成为决策面临的一大难题，决策者由于自身知识水平、经验和判断能力有限，对于一些决策指标往往无法提供准确的数值评价，反而使用定性的语言评价更符合决策者的评价习惯，结果也更为准确。zadeh [23] 开创性地提出了使用模糊语言定性评价的方法，决策者使用一个词或一个句子进行评价，如类似“非常好”或“非常差”的表示形式。但是仅使用一个词语来评价所提供的信息是极其匮乏和不精确的，因此rodriguez et al. [24] 提出了犹豫模糊语言术语集(hflts)的概念，决策者可以使用多个词语进行评价，可以借助“高于”、“低于”、“不差于”等关键词来表述，从而概括其代表的多个词语。如对于给定的语言术语集 s = { s 0 = 非 常 差 , s 1 = 差 , s 2 = 中 , s 3 = 好 , s 4 = 非 常 好 }，决策者的评价为“高于中等”，则用犹豫模糊语言术语集可表示为 h s = { s 3 , s 4 }。多属性决策中的另一问题是属性之间是否相互关联。传统的多属性决策默认属性之间是相互独立的，即互不影响，但在实际问题面前该假设往往缺乏真实性，如评价一家医院时，若其属性包括“住院成本”和“设施质量”，可知两者之间具有一定的相关关系，住院成本高一般意味着设施质量好，反之，住院成本低意味着设施质量差。目前，大量的研究都局限于“属性之间相互独立”这一假设 [17] [25] [26] [27]，难免会使决策结果产生偏差，也有部分研究讨论了属性间的相关关系 [21] [28] [29] [30] [31]，其中常使用模糊测度和shapley值、choquet积分对其进行度量，并产生了较好结果。

传统的多属性决策是一个“二支决策”，其模型结果提供的是方案从“优”到“差”的排序，即排在第一位的为最优方案，并且仅接受该方案，其他方案均拒绝。但事实上，某些方案总体评价值也较高，只是略低于最优方案，其中也不排除有些决策者因自身能力不足而导致对方案误判的可能，所以为了提高整体的决策精确度，方案的可选范围不应仅限于“接受”和“拒绝”，还应包括“待考虑”，需借助其他信息对“待考虑”的方案做进一步评价。yao [32] 基于决策理论粗糙集(dtrs)提出了三支决策方法，其解决了传统多属性决策只能接受或拒绝一个方案的不足，将方案可采取行动划分为积极域、边界域和消极域，分别对应方案的接受、待考虑、拒绝三种决策 [33]。对于不同的决策问题，三支决策可根据实际情况进行语义上的解读，具有较高的易理解性。如针对空袭问题需要选择首先攻击哪一个威胁飞行物，如飞行物“导弹”属于积极域，则代表应该首先攻击“导弹” [16]。三支决策的思想为：使用损失函数对每个方案分别采取三种行动的损失进行衡量，然后根据贝叶斯理论，具有最小损失的行动为方案采取的最佳行动 [34]。基于决策理论粗糙集(dtrs)以及其扩展形式的三支决策已经被应用到诸多领域，如能源项目配置 [35]，石油开发投资 [36]，医疗诊断 [37] [38] [39]，政府石油风险投资 [40]，公私合营项目投资 [22]，聚类分析应用 [20] [41] [42]，环境预防 [43]，文本分类 [44]，垃圾邮件过滤 [45]，恶意软件分析 [46]，人脸识别 [47] [48]。

目前关于三支决策的研究中，损失函数矩阵和属性权重往往直接由决策者主观给出，且较少将三支决策拓展到犹豫模糊语言环境下求解实际问题，以及损失矩阵中的最大值和最小值直接根据属性评价值确定，存在较多局限。因此，本文将多属性群决策和三支决策结合，扩展三支决策模型。首先在犹豫模糊语言环境下给出决策矩阵，并使用shapley衡量属性相关性，建立以群体非一致性最小化为目标的优化模型客观求解属性权重和正负理想解；然后根据个人决策矩阵和模型求解结果，构建个人综合损失矩阵，建立三支决策模型求出各方案的条件概率和阈值，确定个体三支决策，并以此构建以个体和群体三支决策偏差最小化为目标的优化模型，求得群体三支决策。最后，利用topsis思想，通过计算相对贴近度对方案进行排序，在给出行动策略的同时给出最优方案。

2. 理论知识

2.1. 语言术语集

语言术语集是一个由奇数个数语言术语组成的有限集合，即决策者使用类似“非常差、差、中、好、非常好”的语言术语对方案进行评价。

定义1 [49] [50] [51] [52]：令 s = { s t | t = 0 , 1 , ⋯ , τ } ( τ 为正偶整数)为一个语言术语集，对于任意两个语言术语 s α , s β ∈ s， λ 1 , λ 2 ∈ [ 0 , 1 ]，存在以下运算性质：

1) 最大值： max ( s α , s β ) = s α，其中 s α ≥ s β

2) 最小值： min ( s α , s β ) = s α，其中 s α ≤ s β

3) s α ⊕ s β = s a β

4) λ s α = s λ a

5) λ ( s α ⊕ s β ) = λ s α ⊕ λ s β

上述语言术语下标均为离散数值，这使得进行一些运算时，最终的计算结果往往与最初的语言术语集不匹配，如出现 s 0.5 , s 3.3 下标为连续数值或下标超出原术语下标最大值。因此，xu [52] 将离散语言术语集拓展到连续语言术语集 s = { s t | t ∈ [ − q , q ] } ( q > τ 且q为充分大的正整数)，并将其称为虚拟语言术语集，其只出现在运算过程中，保证运算有意义。

定义2 [52]：令 s = { s t | t = 0 , 1 , ⋯ , τ } ( τ 为正偶整数)为一个语言术语集，对于任意两个语言术语 s α , s β ∈ s， s α , s β 之间的距离表示为：

d s ( s α , s β ) = | α − β | τ 1 (1)

其中， α , β 为术语下标， τ 1 为s包含的术语总数。

2.2. 犹豫模糊语言术语集

由于决策环境的复杂和不确定性，仅使用一个语言术语评价方案是不充分和不准确的，因此，rodriguez et al. [24] 提出了犹豫模糊语言术语集(hflts)的概念，决策者对某方案使用多个语言术语并构成一个集合，即犹豫模糊语言术语集。

定义3 [49] [50] [51]：令 s = { s t | t = 0 , 1 , ⋯ , τ } 为虚拟语言术语集， x = { x i | i = 1 , 2 , ⋯ , n } 为备选方案集合，犹豫模糊语言术语集基于s对χ评价可表示为 h s = { 〈 x i , h s ( x i ) 〉 | x i ∈ x }，其中 h s ( x i ) 是对方案 x i 的评价集合，也就是本文的犹豫模糊语言术语集，包含多个s中连续的语言术语，表示为 h i = h s ( x i ) = { s l ( x i ) | s l ( x i ) ∈ s , l = 1 , ⋯ l }，l为 h i 包含的术语个数， h i 中术语按从小到大升序排列。

通常情况下，不同决策者对方案评价使用的语言术语个数是不同的，为了后续便于对决策矩阵进行运算，需要将其标准化，以包含术语个数最多的犹豫模糊语言术语集为标准，使各集合包含术语个数相同，zhu和xu [53] 提出两种解决方法：

( α -标准化)：从较多术语个数的犹豫模糊语言术语集中移除一些术语。

( β -标准化)：向较少术语个数的犹豫模糊语言术语集中添加一些术语(本文采用 β -标准化)。

定义4 [53]：假设h为一个犹豫模糊集，将包含最大的 s α ∈ h 定义为 h max，包含最小的 s α ∈ h 定义为 h min，可利用 h max , h min 计算 h ave = 1 2 ( h max ⊕ h min ) 用于 β -标准化，且保持h中术语为升序排列。

假设对于 h i , h j 两个标准化的犹豫模糊语言术语集， λ ∈ [ 0 , 1 ]，其存在以下运算 [49]：

1) h i ⊕ h j = ∪ s α ∈ h i , s β ∈ h j { s a ⊕ s β } = ∪ s α ∈ h i , s β ∈ h j { s a β }

2) λ h i = ∪ s α ∈ h i { λ s α } = ∪ s α ∈ h i { s λ a }

定义5 [52]：对于两个标准化的犹豫模糊语言术语集 h i , h j，两者之间的欧几里得距离公式定义为：

d ( h i , h j ) = ∑ l = 1 , s α l ∈ h i , s β l ∈ h j # l ¯ d s ( s α l , s β l ) 2 / # l ¯ (2)

其中， # l ¯ 为标准化后的所有犹豫模糊术语集包含的语言术语个数， s α l , s β l 分别为 h i , h j 中相同位置的术语， d s ( s α l , s β l ) 表示 s α l , s β l 之间的距离(见定义2)，然后求平方和再开根号。

2.3. 模糊测度和shapley值

在多属性决策环境下，属性之间往往具有相关性，为了更加符合实际情况，可使用模糊测度来度量此相关关系，得出属性的实际价值。

定义6 [6] [54]：在有限集合n下的模糊测度为一个运算法则 μ : p ( n ) → [ 0 , 1 ]， p ( n ) 为n的真子集，满足以下性质：

1) μ ( ∅ ) = 0 , μ ( n ) = 1

2) 如果 a , b ∈ p ( n ) 且 a ∈ b，则 μ ( a ) ≤ μ ( b )

定义7 [51] [55]：利用模糊测度剔除其他属性对i的相关影响后，i的shapley值即可理解为i的价值或重要程度：

φ i s h ( μ , n ) = ∑ t ⊆ n \ i ( | n | − 1 − | t | ) ! | t | ! | n | ! × ( μ ( i ∪ t ) − μ ( t ) ) , ∀ i ∈ n (3)

其中， | n | , | t | 为集合 n , t 的元素个数。

2.4. 三支决策

三支决策是由yao [32] 提出的基于决策理论粗糙集(dtrs)的新型决策方法，其为决策问题提供了更多元化的凯发娱乐官网的解决方案。它将备选方案划分为接受、待考虑、拒绝三种集合，与传统的多属性决策如linmap、topsis最终仅提供一个最优方案相比更具有灵活性，在一定程度上避免了放弃原本成效较好的方案，决策得到了优化。

定义8 [56]：令u为一个有限非空集合， r ⊆ u × u 为等价关系，定义 a p r = ( u , r ) 为一个粗糙近似空间。u被r划分后的每一部分表示为 [ x ]。对于 ∀ c ∈ u，c的上下近似概率定义为：

a p r ¯ ( c ) = { x ∈ u | p r ( c | [ x ] ) > β }

a p r _ ( c ) = { x ∈ u | p r ( c | [ x ] ) ≥ α }

p r ( c | [ x ] ) 为当x发生是c发生的条件概率， α , β 为通过三支决策下的损失矩阵推导得出的阈值。

u通常可以被阈值 α , β 划分为三个区域，分别为：

p o s ( c ) = { x ∈ u | p r ( c | [ x ] ) ≥ α }

b n d ( c ) = { x ∈ u | β < p r ( c | [ x ] ) < α }

n e g ( c ) = { x ∈ u | p r ( c | [ x ] ) < β }

pos、bnd、neg分别表示接受域、边界域、拒绝域。

定义9 [32]：为了更好得解释阈值 α , β 与三个区域之间的关系，yao [32] 基于贝叶斯理论提出了决策理论粗糙集。一个粗糙集模型包括三个行动和两个状态，分别表示为 a = { a p , a b , a n }， ω = { c , ¬ c }。 a p , a b , a n 三个行动分别表示 x ∈ p o s ( c )， x ∈ b n d ( c )， x ∈ n e g ( c ) ； c , ¬ c 分别表示对象处于c和不处于c状态。a和 ω 构成如表1的损失矩阵。

损失矩阵满足： λ p p ≤ λ b p < λ n p， λ n n ≤ λ b n < λ p n。

阈值 α , β , γ 与三个区域之间的关系通过损失矩阵推导可表示为：

(p1)如果 p r ( c | [ x ] ) ≥ α 且 p r ( c | [ x ] ) ≥ γ，则 x ∈ p o s ( c ) ；

(b1)如果 p r ( c | [ x ] ) ≤ α 且 p r ( c | [ x ] ) ≥ β，则 x ∈ b n d ( c ) ；

(n1)如果 p r ( c | [ x ] ) ≤ β 且 p r ( c | [ x ] ) ≤ γ，则 x ∈ n e g ( c )。

阈值 α , β , γ 计算公式为：

α = ( λ p n − λ b n ) ( λ p n − λ b n ) ( λ b p − λ p p ) (4)

β = ( λ b n − λ n n ) ( λ b n − λ n n ) ( λ n p − λ b p ) (5)

γ = ( λ p n − λ n n ) ( λ p n − λ n n ) ( λ n p − λ p p ) (6)

为了满足模型成为三支决策，需满足 0 ≤ β < γ < α ≤ 1，所以最终可将(p1) (b1) (n1)式简写为 [57]：

(p2) 如果 p r ( c | [ x ] ) ≥ α，则 x ∈ p o s ( c ) ；

(b2) 如果 β < p r ( c | [ x ] ) < α，则 x ∈ b n d ( c ) ；

(n2) 如果 p r ( c | [ x ] ) ≤ β，则 x ∈ n e g ( c )。

3. 基于shapley值的犹豫模糊语言三支决策模型

3.1. 相关符号描述

假设 a = { a 1 , a 2 , ⋯ , a m } 为备选方案集， a i ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ) 是备选方案集中第i个方案； c = { c 1 , c 2 , ⋯ , c n } 为属性集， c j ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) 为属性集中的第j个属性， p = { p 1 , p 2 , ⋯ , p t } 为决策者集合， p k ( k = 1 , 2 , ⋯ , t ) 是第k位决策者， p k 给出的决策矩阵为 h k = ( h i j k ) m ∗ n， h i j k 为一个犹豫模糊语言术语集。 p k 给出的两两方案比较偏好关系为 ω k = { 〈 ( a i , a j ) , t k ( i , j ) 〉 | a i ≻ a j 的 程 度 值 为 t k ( i , j ) , 0 ≤ t k ≤ 1 }，属性偏好关系为 λ φ。

各属性对应的权重为 φ c s h = { φ c 1 s h , φ c 2 s h , ⋯ , φ c n s h }，且 0 ≤ φ c j s h ≤ 1 , ∑ j = 1 n φ c j s h = 1，即通常所谓的w，但本文使用的权重为考虑了属性相关性后改良的权重，通过建立决策模型可求出。为了精确表示各属性的重要程度，决策者可以根据自身知识和经验给出属性权重的偏好关系，通常偏好信息结构 λ φ 用以下五种形式给出 [58]：

① 排序结构： λ 1 φ = φ c i s h ≥ φ c j s h

② 强排序结构： λ 2 φ = β ≤ φ c i s h − φ c j s h ≤ α

③ 乘积结构： λ 3 φ = φ c i s h ≥ α φ c j s h

④ 区间结构： λ 4 φ = β ≤ φ c i s h ≤ α

⑤ 差值排序结构： λ 5 φ = φ c i s h − φ c j s h ≥ φ c k s h − φ c l s h

3.2. 属性权重和正、负理想解的确定

1) 假设决策者 p k 的决策矩阵如表2所示。

2) 标准化决策矩阵 h k

由于 ( h i j k ) m ∗ n 存在语言术语个数不同的可能，需要对表2决策矩阵标准化，设标准化后的决策矩阵为 h k ¯ = ( h i j k ¯ ) m ∗ n，如表3所示。

3) 计算每个方案到正、负理想解的距离

利用定义5衡量方案到正、负理想解的距离。

① 设模型求得的正理想解为：

h = ( h 1 , h 2 , ⋯ , h n )，分量为 h j = { s β 1 , s β 2 , ⋯ , s β # l }，其中 # l 为标准化后 h i j k ¯ 包含的术语个数。

② 负理想解为：

h − = ( h 1 − , h 2 − , ⋯ , h n − )，分量为 h j − = { s β 1 , s β 2 , ⋯ , s β # l }，其中 # l 为标准化后 h i j k ¯ 包含的术语个数。

决策者 p k 对方案 a i 的评价值为 h i k ¯ = ( h i 1 k ¯ , h i 2 k ¯ , ⋯ , h i n k ¯ )，分量 h i j k ¯ = { s α 1 k , s α 2 k , ⋯ , s α # l k } , j = 1 , 2 , ⋯ , n。

③ 则 a i 距 h 的距离为：

d i k = d ( a i k , h ) = ∑ j = 1 n φ c j s h ⋅ d ( h j k ¯ , h j ) (7)

④ a i 距 h − 的距离为：

d i k − = d ( a i k , h − ) = ∑ j = 1 n φ c j s h ⋅ d ( h j k ¯ , h j − ) (8)

4) 计算决策者 p k 的决策矩阵和偏好关系的一致性和非一致性

假设决策者 p k 关于两两方案间的偏好关系为 ω k = { ( a i , a j ) , t k ( i , j ) | i , j = 1 , 2 , ⋯ , m }。

基于正理想解 h，构建决策者 p k 的决策矩阵和偏好关系的非一致性 ( φ i j k ) − ：

( φ i j k ) − = ( d i k − d j k ) − = { 0 , d i k < d j k t k ( i , j ) × ( d i k − d j k ) , d i k ≥ d j k (9)

可将上式简记为 ( φ i j k ) − = max { 0 , t k ( i , j ) × ( d i k − d j k ) } = t k ( i , j ) ⋅ max { 0 , d i k − d j k } (10)

决策者 p k 的总体非一致性 b k 为：

b k = ∑ ( a i , a j ) ∈ ω k ( φ i j k ) − = ∑ ( a i , a j ) ∈ ω k t k ( i , j ) ⋅ max { 0 , d i k − d j k } (11)

① 考虑所有t个决策者，基于正理想解 h，群体非一致性 b 为：

b = ∑ k = 1 t b k = ∑ k = 1 t ∑ ( a i , a j ) ∈ ω k ( φ i j k ) − = ∑ k = 1 t ∑ ( a i , a j ) ∈ ω k t k ( i , j ) ⋅ max { 0 , d i k − d j k } (12)

② 同理，基于负理想解 h − 的群体非一致性 b − 为：

b − = ∑ k = 1 t b k − = ∑ k = 1 t ∑ ( a i , a j ) ∈ ω k ( φ i j k − ) − = ∑ k = 1 t ∑ ( a i , a j ) ∈ ω k t k ( i , j ) ⋅ max { 0 , d j k − − d i k − } (13)

③ 基于正理想解 h，群体一致性 g 为：

g = ∑ k = 1 t g k = ∑ k = 1 t ∑ ( a i , a j ) ∈ ω k ( φ i j k ) = ∑ k = 1 t ∑ ( a i , a j ) ∈ ω k t k ( i , j ) ⋅ max { 0 , d j k − d i k } (14)

④ 基于负理想解 h −，群体一致性 g − 为：

g − = ∑ k = 1 t g k − = ∑ k = 1 t ∑ ( a i , a j ) ∈ ω k ( φ i j k − ) = ∑ k = 1 t ∑ ( a i , a j ) ∈ ω k t k ( i , j ) ⋅ max { 0 , d i k − − d j k − } (15)

5) 建立单目标优化模型

min { b b − }

s .t . { g − b ≥ h g − − b − ≥ h − μ ( c j ) ∈ λ μ , 0 ≤ μ ( c j ) ≤ 1 ∀ c j ∈ c ∑ j = 1 n φ c j s h = 1 μ ( s ) ≤ μ ( q ) ∀ s , q ⊆ c , s ⊆ q φ c j s h = ∑ t ⊆ n \ j ( | n | − 1 − | t | ) ! | t | ! | n | ! × ( μ ( j ∪ t ) − μ ( t ) ) ∀ c j ∈ c (16)

其中，该优化模型的目标函数为最小化群体非一致性 { b b − }，而且在约束条件中限制群体一致性高于非一致性， h , h − 事先有决策者根据经验和偏好给出，可取0.001。

为了方便软件求解，令 λ i j k = max { 0 , d i k − d j k } , λ i j k − = max { 0 , d j k − − d i k − }，则对 ∀ ( a i , a j ) ∈ ω k， λ i j k , λ i j k − ≥ 0，且 λ i j k ≥ d i k − d j k , λ i j k − ≥ d j k − − d i k −，则上述模型可重写为：

min { ∑ k = 1 t ∑ ( a i , a j ) ∈ ω k t k ( i , j ) ⋅ λ i j k ∑ k = 1 t ∑ ( a i , a j ) ∈ ω k t k ( i , j ) ⋅ λ i j k − }

s .t . { ∑ k = 1 t ∑ ( a i , a j ) ∈ ω k t k ( i , j ) × ( d j k − d i k ) ≥ h ∑ k = 1 t ∑ ( a i , a j ) ∈ ω k t k ( i , j ) × ( d i k − − d j k − ) ≥ h − λ i j k − ( d i k − d j k ) ≥ 0 ( i , j ) ∈ { ( i , j ) | ( a i , a j ) ∈ ω k } , k = 1 , 2 , ⋯ , t λ i j k − − ( d j k − − d i k − ) ≥ 0 ( i , j ) ∈ { ( i , j ) | ( a i , a j ) ∈ ω k } , k = 1 , 2 , ⋯ , t λ i j k , λ i j k − ≥ 0 ( i , j ) ∈ { ( i , j ) | ( a i , a j ) ∈ ω k } , k = 1 , 2 , ⋯ , t μ ( c j ) ∈ λ μ , 0 ≤ μ ( c j ) ≤ 1 ∀ c j ∈ c ∑ j = 1 n φ c j s h = 1 μ ( s ) ≤ μ ( q ) ∀ s , q ⊆ c , s ⊆ q φ c j s h = ∑ t ⊆ n \ j ( | n | − 1 − | t | ) ! | t | ! | n | ! × ( μ ( j ∪ t ) − μ ( t ) ) ∀ c j ∈ c (17)

6) 计算得到属性权重和正、负理想解

利用lingo求解上述模型，可得到属性权重 φ c j s h 和正理想解 h 和负理想解 h −。

3.3. 损失矩阵的确定

决策者 p k 的方案 a i 在属性 c j 下损失矩阵由对应决策值 h i j k ¯ 给出，为了表示相对损失差值，转换后的损失矩阵如表4所示。

h min j , h max j 为决策者 p k 在属性 c j 下所有方案评价值的最劣值和最优值，可分别看作负理想解 h − 和正理想解 h 的第j个分量，即

h min j = h j − = { s β 1 , s β 2 , ⋯ , s β # l } , h max j = h j = { s β 1 , s β 2 , ⋯ , s β # l }。

σ 为规避风险系数，表示决策者的风险态度，由决策者给出(如 σ = 0.35 )。为了符合三支决策，需满足 0 < σ < 0.5 [56]。

决策者 p k 损失矩阵也可以表示为：

λ ( h i j k ¯ ) = ( λ p p i j k λ p n i j k λ b p i j k λ b n i j k λ n p i j k λ n n i j k ) = ( 0 d ( h i j k ¯ , h max j ) σ d ( h i j k ¯ , h min j ) σ d ( h i j k ¯ , h max j ) d ( h i j k ¯ , h min j ) 0 ) (18)

利用shapley值集结方案 a i 在所有属性下的损失矩阵，得出决策者 p k 对 a i 的综合损失矩阵记为 λ i k ：

λ i k = ( λ p p i k λ p n i k λ b p i k λ b n i k λ n p i k λ n n i k ) = ( ∑ j φ c j s h λ p p i j k ∑ j φ c j s h λ p n i j k ∑ j φ c j s h λ b p i j k ∑ j φ c j s h λ b n i j k ∑ j φ c j s h λ n p i j k ∑ j φ c j s h λ n n i j k ) = ( 0 d i k σ d i k − σ d i k d i k − 0 ) (19)

3.4. 阈值和条件概率的确定

决策者 p k 对于方案 a i 的阈值分别为：

α i k = ( λ p n i k − λ b n i k ) ( λ p n i k − λ b n i k ) ( λ b p i k − λ p p i k ) = ( 1 − σ ) d i k ( 1 − σ ) d i k σ d i k − (20)

β i k = ( λ b n i k − λ n n i k ) ( λ b n i k − λ n n i k ) ( λ n p i k − λ b p i k ) = σ d i k σ d i k ( 1 − σ ) d i k − (21)

利用相对贴近度 r ( a i k ) = d i k − d i k − d i k，表示方案 a i 处于状态c的概率，可以近似表示条件概率 p r ( c | a i k )。

3.5. 个体决策准则

决策者 p k 的最终三支决策可表述为：

(p3) 如果 p r ( c | a i k ) ≥ α i k，则 a i k ∈ p o s ( c )，应该接受该方案；

(b3) 如果 β i k < p r ( c | a i k ) < α i k，则 a i k ∈ b n d ( c )，是否接受该方案还需其他信息进一步分析；

(n3) 如果 p r ( c | a i ) ≤ β i k，则 a i k ∈ n e g ( c )，应该拒绝该方案。

3.6. 群体三支决策

由上述三支决策可得出每个决策者 p k ( k = 1 , 2 , ⋯ , t ) 的决策结果，但由于不同决策者自身知识水平、经验判断的差异，使得每个决策者的结果相同或相差很小的可能性很低，所以为了使群体的一致性达到较好成效，需要再次建立优化模型，得到群体决策结果，并扩展得出方案的排序。

1) 标号个体决策结果

基于 3.5小节的结果，为每个决策者 p k ( k = 1 , 2 , ⋯ , t ) 对方案 a i ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ) 的决策结果进行标号，即用数值表示。将属于 p o s ( c ) 的所有方案标号为1，属于 b n d ( c ) 的所有方案标号为0，属于 n e g ( c ) 的所有方案标号为−1。同样，假设最终群决策对方案的接受、待考虑、拒绝也分别用1，0，−1进行表示。

2) 构建优化模型

可知应该让群体的决策结果和个体的决策结果尽可能接近，接近程度可用下式衡量：

d i = ∑ k = 1 t w k ( | r k i − r i | ) (22)

其中， d i ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ) 表示对于方案 a i，群体决策与所有个体决策的总体差异性； w k ( k = 1 , 2 , ⋯ , t ) 为决策者 p k 的权重，可通过模型客观求出； r k i 为决策者 p k 决策结果对方案 a i 的标号为已知，即由3.5小节个体决策结果来确定，如 r 23 = 1 表示为决策者 p 2 结果中方案 a 3 标号为1，即应该接受方案 a 3 ； r i 表示群体对方案 a i 的标号。

建立以个体和群体三支决策偏差最小化为目标的优化模型，如下所示：

min ∑ i = 1 m ∑ k = 1 t w k ( | r k i − r i | )

s .t . { r i = − 1 or 0 or 1 , i = 1 , 2 , ⋯ , m 0 ≤ w k ≤ 1 , k = 1 , 2 , ⋯ , t ∑ k = 1 t w k = 1 (23)

3) 确定群体三支决策

利用lingo求解上述模型，求得决策者权重和方案的标号值，其最终的三支决策可表述为：

(p4) 如果 r i = 1，则 a i ∈ p o s ( c )，应该接受该方案；

(b4) 如果 r i = 0，则 a i ∈ b n d ( c )，是否接受该方案还需其他信息进一步分析；

(n4) 如果 r i = − 1，则 a i ∈ n e g ( c )，应该拒绝该方案。

4) 结合三支决策结果给出最佳方案

由于三支决策结果中存在多种方案属于相同行动域的可能，如结果为应该接受 a 1 , a 3 , a 4，为了提供

更精确的决策，应该将 a 1 , a 3 , a 4 进行排序，给出最应接受的方案。借助相对贴近度 r ( a i k ) = d i k − d i k − d i k 对

属于“接受”行动策略集的方案进行排序，即在求得每个决策者给出的方案相对贴近度 r ( a i k ) 的基础上，利用求得的决策者权重对其进行集结，求得方案的群体相对贴近度 r ( a i )， r ( a i ) 越大方案 a i 最优。

4. 实例分析

本文采用xu和wu [59] 实例进行分析，一家制造公司打算招聘一名销售经理，经过筛选后，四位应聘者 a = { a 1 , a 2 , a 3 , a 4 } 被选中参加面试。为了选择最合适的销售经理，邀请公司人力资源部门的四位专家即决策者 p = { p 1 , p 2 , p 3 , p 4 } 对应聘者进行面试，应聘标准包括四个属性，即沟通能力( c 1 )，工作经验( c 2 )，基本才能( c 3 )，意愿( c 4 )。基于语言术语集 s = { s 0 = 差 , s 1 = 较 差 , s 2 = 中 等 , s 3 = 较 好 , s 4 = 好 , s 5 = 非 常 好 , s 6 = 极 好 }，决策者 p k ( k = 1 , 2 , 3 , 4 ) 给出决策矩阵，将其标准化后如表5~8所示。

假设决策者 p k ( k = 1 , 2 , 3 , 4 ) 给出的两两应聘者比较偏好关系为： ω 1 = { 〈 ( a 4 , a 2 ) , 0.4 〉 }， ω 2 = { 〈 ( a 4 , a 1 ) , 0.1 〉 , 〈 ( a 2 , a 3 ) , 0.3 〉 }， ω 3 = { 〈 ( a 4 , a 1 ) , 0.4 〉 , 〈 ( a 2 , a 3 ) , 0.2 〉 }， ω 4 = { 〈 ( a 4 , a 2 ) , 0.5 〉 , 〈 ( a 2 , a 1 ) , 0.4 〉 }。给出的属性权重偏好信息为： λ φ = { 0.1 ≤ φ c 1 s h − φ c 2 s h ≤ 0.2 , φ c 3 s h ≥ 2 φ c 4 s h , 0.3 ≤ φ c 3 s h ≤ 0.6 }。

step 1：标准化决策矩阵后，结合决策者给出的应聘者偏好关系和属性权重偏好信息，根据(17)建立

单目标优化模型，其中 h , h − 取值0.001，使用lingo求解得出属性权重 φ c j s h 和正负理想解 h , h −，结

果如表9所示。

step 2：基于个人决策矩阵表5~8和表9求解结果，根据表4构建个人损失矩阵，其中 σ = 0.35，并对每位决策者集结方案 a i ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) 在所有属性下 ( c 1 , c 2 , c 3 , c 4 ) 的损失矩阵，得出各决策者对各方案的综合损失矩阵 λ i k ( k = 1 , 2 , 3 , 4 )。

step 3：根据综合损失矩阵 λ i k，由3.4小节计算决策者 p k 对于方案 a i 的阈值 α i k , β i k，并以相对贴近度 r ( a i k ) 作为条件概率 p r ( c | a i k )，由3.5小节决策规则得出 p k 的三支决策结果。

step 4：基于个人三支决策结果，确定每位决策者对各方案的标号，根据(23)建立优化模型，使用lingo求解得出群体的三支决策结果，最终结果为接受 a 1 , a 2 , a 4，拒绝 a 3，且决策者权重为 w 1 = w 3 = w 4 = 0 , w 2 = 1。

step 5：利用求得的决策者权重，将所有决策者对 a 1 , a 2 , a 4 的相对贴近度 r ( a i k ) 进行加权求和并将结果记为 r ( a i )，且 r ( a i ) 越大说明方案 a i 最优，结果为 r ( a 1 ) = r ( a 1 2 ) = 0.6381， r ( a 2 ) = r ( a 2 2 ) = 0.6205， r ( a 4 ) = r ( a 4 2 ) = 0.6802，所以 a 4 ≻ a 1 ≻ a 2，最优方案为 a 4。

综合step 4和step 5结果，该公司应优先录用应聘者 a 4。

5. 总结

本文通过逐步建立模型，在犹豫模糊语言环境下，考虑属性间的关联性，基于shapley值构建犹豫模糊语言三支决策模型，给出各备选方案的行动策略和确定方案排序，丰富了现有决策模型，并能解决诸多实际问题。在本文中，属性权重和正负理想解均通过构建模型求得，更加客观准确；损失矩阵是由决策矩阵转化得到，为各方案分别构建不同的损失矩阵，避免了传统三支决策中不同方案损失矩阵相同的不足；利用三支决策的行动策略和topsis思想中的相对贴近度，不仅给出各方案的行动策略，同时确定方案排序。基于本文研究，后续工作中可加入对位置相关性的考虑，即对属性处于第几位重要程度的衡量，仍利用shapley值衡量其权重。此外，还可在实例的基础上对各种参数(如损失矩阵中的 σ 、模型中决策者直接给出的 h , h − 、决策者权重 w k )进行敏感性分析，解析决策结果的差异性。

基金项目

教育部人文社会科学研究青年基金(19yjc630107)、对外经济贸易大学中央高校基本科研业务费专项资金资助(20yq04)、对外经济贸易大学中央高校基本科研业务费专项资金资助(17qn01)。

参考文献