一维交替在位作用(t-凯发娱乐官网

1. 引言

作为一种开创性的量子模型，一维(1d) hubbard模型 [1] 已被广泛用于描述低维多体系统中的电子关联。hubbard模型构成了我们理解高度相关材料丰富物理的基础，然而，它的标准哈密顿量仅包括与占据无关的跳跃(t)和在所有位置的等位相互作用(u)。通常，从一个位点到另一个位点的跳跃与这两个位点的电子占有数有关，这导致了密度相关的跳跃 [2] [3] [4] 的发生，它描述了位于位点和键上的电荷之间的相互作用，也称为键–电荷相互作用(x) [5] [6] [7] [8] 。u项和x项是通过关注两体势的矩阵元素的不同选择，从相同的紧束缚模型哈密顿量 [1] 中获得的。通过利用wannier态 | j 〉 ， u = 〈 j j | 1 / r | j j 〉 ， x = 〈 j j | 1 / r | j j ± 1 〉 。在位置表示中，u项和x项分别对应于势的对角矩阵元素和非对角矩阵元素。一开始，键–电荷相互作用被引导来解释混合价态材料的低能物理 [9] 。随后，x相互作用在不同的背景下得到了广泛的研究 [10] - [16] 。特别是，一维t-u-x模型 [17] [18] [19] [20] [21] 的相图研究受到了相当大的关注，其哈密顿量的形式为 [17]

h = − t ∑ j ∑ α = ↑ , ↓ ( c j , α † c j , α h . c . ) u ∑ j n j , ↑ n j , ↓ − x ∑ j ∑ α = ↑ , ↓ ( c j , α † c j , α h . c . ) ( n j , α n j 1 , α ) (1)

通过产生( c j , α † )和湮灭算符( c j . α )，可得到数密度算符 n = c j , α † c j . α 。u项描述局域电子，x项延伸到涉及最近电子的非局域轨道。此外，在一些络合物中，x的值可能更大 [22] 。系统(1)的基态性质引起了人们的极大兴趣。在半填充时，aligia等人展示了一种非常规的绝缘体–超导体转变 [17] 。buzatu展示了在半填充时，系统不受x项的影响，其特征是自旋密度波(sdw)相，而在非半填充时x和u相互作用相互竞争，导致基态变成具有几种类型不稳定性的金属相 [18] 。

hubbard模型被视为相关系统的原型，并解释了许多材料的性质，而这些性质并没有用平均场理论来解释。相比之下，t-u-x模型可以描述一系列更多的现象。此外，具有格点间扩展的对角相互作用， v = 〈 j j 1 | 1 / r | j j 1 〉 ，也被广泛研究 [23] - [30] 。最普遍的扩展是由bks哈密顿量给出的，它考虑了所有可能的最近邻耦合 [31] 。尽管如此，这些模型还是假设任何晶格位点都具有相同的在位相互作用。我们不得不承认，这个方案既简化了复杂的相互作用，又突出了物理性质。然而，在一些材料中确实存在不同的hubbard相互作用，如high-t_c la₂cuo₄，其中cu和o位点具有不相等的在位排斥作用 [32] 。emery进一步将cu-o平面转化为1d模型 [33] 。japarized等人通过使用cu-o链的1d哈密顿量研究了hubbard相互作用的不等价性 [34] 。在本文中，我们扩展了模型(1)，在释放等hubbard能量假说的基础上，选取了奇数和偶数晶格位点上不同的现场相互作用，分别为u_o和u_e。考虑到这一点，该模型可以用哈密顿描述如下：

h = − ∑ j , α ( c j , α † c j , α h . c . ) [ t x ( n j , α n j 1 , α ) ] u o ∑ j ∈ o d d n j , ↑ n j , ↓ u e ∑ j ∈ e v e n n j , ↑ n j , ↓ (2)

在位排斥影响umkalpp散射过程中，人们普遍认为，在1d标准情况下( u o = u e )，这种散射仅发生在半填充时。 x > 0 ( x < 0 )的作用是有利于(阻碍)带有非零电荷的位点的跳跃 [8] 。在此，我们重点讨论四分之一填充，且所有参数均为正值( t , x , u o , u e > 0 )。我们只考虑弱耦合的情况，在这种情况下，玻色化和重正化群分析方法可以有效地应用。结果表明，当u_o和u_e都大于 4 2 x 时，就会出现umklapp过程。这一特征在一维传统t-u-x模型(1)中是没有的。量子相图包含一个具有单线超导(ss)不稳定性的金属相和两个具有自旋密度波(sdw)和电荷密度波(cdw)不稳定性的绝缘相。

2. 玻色化和重整化群分析

费米系统的低能特性主要取决于费米表面附近的态。在一维情况下，我们只需考虑费米点附近的激发。在这种情况下，晶格场算符可以用左移( ψ l α )和右移( ψ r α )分量展开为 [35] ，

c j , α = exp ( − i π υ j ) ψ l , α ( j ) exp ( i π υ j ) ψ r , α ( j ) (3)

其中，j位点的平均电子填充度定义为 υ = n / 2 n 0 ，n电子平均占据n₀个位点。一维电子系统具有电荷–自旋分离的特性。umklapp和后向过程分别影响电荷和自旋激发。相关的umklapp散射会产生能隙，从而导致绝缘态。相反，不相关的过程不能产生间隙，系统就是导体。同样，后向散射的相关性也决定了自旋间隙的存在。为了突出模型(2)不同于模型(1)的量子特性，我们分析了交替hubbard相互作用对umklapp过程的影响。为此，我们将哈密顿方程(2)中的u_o和u_e项重写为另一种等价形式

h = ∑ j u o u e 2 n j , ↑ n j , ↓ ∑ j u e − u o 2 ( − 1 ) j n j , ↑ n j , ↓ (4)

通过表达式(3)，上述均匀项和交替在位作用项被转化为手性场的组合

u o u e 2 ∑ j { ( ρ l ↑ ρ r ↑ ) ( ρ l ↓ ρ r ↓ ) [ e − i 2 π υ j ψ r ↓ † ψ l ↓ × ( ρ l ↑ ρ r ↑ ) h . c . ] cos − 1 θ [ e − i 2 π υ j ( ρ l ↓ ρ r ↓ ) ψ r ↑ † ψ l ↑ h . c . ] [ ψ l ↓ † ψ r ↑ † ψ l ↑ ψ r ↓ h . c . ] [ e − i 4 π υ j ψ r ↑ † ψ r ↓ † ψ l ↑ ψ l ↓ h . c . ] } (5)

u e − u o 2 ∑ j { ( − 1 ) j ( ρ l ↑ ρ r ↑ ) ( ρ l ↓ ρ r ↓ ) [ e − i π ( 1 − 2 υ ) j ( ρ l ↑ ρ r ↑ ) ψ r ↓ † ψ l ↓ h . c . ] [ e − i π ( 1 − 2 υ ) j ( ρ l ↓ ρ r ↓ ) ψ r ↑ † ψ l ↑ h . c . ] ( − 1 ) j [ ψ r ↑ † ψ l ↓ † ψ l ↑ ψ r ↓ h . c . ] [ e − i π ( 1 − 4 υ ) j ψ r ↑ † ψ r ↓ † ψ l ↑ ψ l ↓ h . c . ] } (6)

这里 ρ l , α = ψ l , α † ψ l , α 和 ρ r , α = ψ r , α † ψ r , α 。(5)和(6)中携带振荡因子的最后一项描述了我们最关心的umklapp过程。显然，只有在 υ = 1 / 2 或1/4时，这两个项才会有区别，这表明umklapp过程要么发生在半填充时，要么发生在四分之一填充时。在连续极限中，晶格场算符可以由连续场代替： ψ l , α ( j ) → ψ l , α ( x ) ， ψ r , α ( j ) → ψ r , α ( x ) 。这些手性费米子算子又可以用一对对偶玻色算子 ϕ μ 和 θ μ 来表示 [35]

ψ l , α ( x ) = η l , α 2 π a e − i ( ϕ c α ϕ s θ c α θ s ) / 2 (7)

ψ r , α ( x ) = η l , α 2 π a e i ( ϕ c α ϕ s − θ c − α θ s ) / 2 (8)

其中 α = ↑ ( ↓ ) 对应于1 (−1)的值。hermitian因子 η p , α 保持了不同费米子的反对易关系， p = l , r 。玻色场 ϕ μ 和 θ μ 遵循 [ θ μ ( x ) , ϕ μ ′ ( x ′ ) ] = i π δ μ μ ′ sgn ( x − x ′ ) / 2 。玻色化方法 [35] [36] [37] 已被广泛应用于一维量子系统，其中的物理现象分别由自旋( μ = s )和电荷( μ = c )通道描述。

按照惯例，电荷–自旋耦合项在弱耦合机制中作为一个强无关算子可以省略 [38] [39] [40] [41] [42] 。在这一方法中，哈密顿(2)被转换为用独立电荷场和自旋场来表示：

h = g 1 ⊥ 2 π 2 a 2 ∫ d x cos 8 ϕ s g 3 ⊥ 2 π 2 a 2 ∫ d x cos 8 ϕ c ∑ μ = c , s ℏ υ μ 2 π ∫ d x [ k μ − 1 ( ∂ x ϕ μ ) 2 k μ ( ∂ x θ μ ) 2 ] (9)

g 1 ⊥ 和 g 3 ⊥ 项分别对应后向过程和umklapp过程。参数 υ μ 和 k μ 的关系是 υ μ k μ = υ f ，费米速度 υ f = 2 ℏ − 1 t sin ( π υ ) 。自旋和电荷luttinger参数 k μ 主导着关联函数的衰变行为。g和k的振幅由相互作用和填充决定，计算公式为

g 1 ⊥ = u o u e 2 − 8 x cos ( υ π ) (10)

g 3 ⊥ = − u o u e 2 δ υ , 1 / 2 u o − u e 2 δ υ , 1 / 4 (11)

k s − 1 = u o u e 4 − 4 x cos ( υ π ) (12)

k c − 1 = − u o u e 4 4 x cos ( υ π ) (13)

除了谐振项之外，哈密顿方程(9)中还有余弦项，它们对电荷隙和自旋隙的存在与否有重要影响。这对应于已知正弦–戈登(sg)模型的重整化群(rg)分析 [35] 。根据初始g和k之间的关系，该模型的低能激发有两种不同类型的区域：

1) 对于 2 ( k − 1 ) < | g | ，rg流被限制在强耦合区域。表征后向过程或umklapp过程的余弦项变得相关，自旋或电荷扇区出现了间隙。为了最大限度地减少基态能量，当 g > 0 时， ϕ μ 场被固定在期望值 π / 8 附近；而当 g < 0 时， ϕ μ 场固定在0周围 [39] [40] 。

2) 对于 2 ( k − 1 ) ≥ | g | ，系统处于弱耦合区域。随着长度尺度的增大，余弦项被重正化为无关项。激发时没有间隙，并且 ϕ μ 场不会被固定。

3. 基态相图

在本文中，我们只考虑四分之一填充。从方程(10)和(12)可以看出，存在 2 ( k s − 1 ) = g 1 ⊥ 的关系。这在物理上来自自旋扇区中的su(2)对称性，并且流沿着rg流图的分界线的方向进行。自旋间隙在 g 1 ⊥ < 0 时打开，在 g 1 ⊥ ≥ 0 时关闭。因此，自旋间隙相变发生在：

u o u e = 8 2 x (14)

在无自旋带隙的情况下，定点取 k s * = 1 的值。

在具有较低u(1)对称性的电荷通道中，情况变得有些复杂。电荷流偏离了分界线，有了更多的选择。根据rg分析，电荷激发在以下条件下是大质量的：

− u o u e 2 8 x cos π 4 < | u o − u e 2 | (15)

同样地，它对应于不等式关系 u o > max { 4 2 x ; u e } 或 u e > max { 4 2 x ; u o } 。电荷场的相应期望值为 〈 ϕ c 〉 = π / 8 或 〈 ϕ c 〉 = 0 。无论哪种情况，都会出现umklapp散射。

与不等式(15)相反的是

− u o u e 2 8 x cos π 4 ≥ | u o − u e 2 | (16)

描述了弱耦合区域，在该区域内，电荷激发是无质量的。重正化流最终归零，umklapp过程消失。由此可见，电荷隙过渡的边界有两个分支。对于 u e ≤ 4 2 x ，为

u o = 4 2 x (17)

而在 u o ≤ 4 2 x ，为

u e = 4 2 x (18)

在无电荷间隙区，除了边界(17)和(18)外，不动点的特征是 k c * > 1 。

通过了解每个扇区中的转变，现在可以确定相位区域。首先，我们排除了键位不稳定性的存在，因为它们只出现在半填充的情况下 [41] 。因此，我们只需要考虑在位密度波和超导不稳定性，相应的序参量由玻色子场定义为：

o s s ~ exp ( i 2 θ c ) cos 2 ϕ s (19)

o t s ~ exp ( i 2 θ c ) sin 2 ϕ s (20)

o s d w ~ cos ( 2 ϕ c 2 π υ j ) sin 2 ϕ s (21)

o c d w ~ sin ( 2 ϕ c − 2 π υ j ) cos 2 ϕ s (22)

与标准情况一样，前两个参数与奇数和偶数位置无关，描述的是ss和ts相关性。而后两者描述的是sdw和cdw相关性，依赖于位置的奇偶性：在奇数位点，它们的计算公式为：

o s d w o ~ sin 2 ϕ c sin 2 ϕ s (23)

o c d w o ~ cos 2 ϕ c cos 2 ϕ s (24)

在偶数位置，它们的形式为：

o s d w e ~ cos 2 ϕ c sin 2 ϕ s (25)

o c d w e ~ sin 2 ϕ c cos 2 ϕ s (26)

通过上述分析得出了相图(图1)，该相图分为五个区域，包括三个不同的相。

在a和b的半间隙扇区中，电荷通道有间隙，而自旋通道没有间隙。这样就无法产生无电荷间隙的 和ss不稳定性，系统只能是绝缘体。在另一方面， ϕ s 场是波动的，而 ϕ c 场是固定的，在a中赋予 〈 ϕ c 〉 = π / 8 ，在b中赋予 〈 ϕ c 〉 = 0 。很容易发现，在a区域中， o s d w o 和 o c d w e 取非零值，而在b区域中，非零序参量为 o s d w e 和 o c d w o 。为了确定主导序参量，我们借助于相应的关联函数( γ i ) [23] ： γ s d w ( r ) ∝ r − 1 ln 1 / 2 r ，而 γ c d w ( r ) ∝ r − 1 ln − 3 / 2 r 。显然，sdw的不稳定性抑制了cdw的不稳定性。基态处于sdw相关性占主导地位的绝缘相。我们分别称它们为a区的o-sdw和b区的e-sdw。

在c和d的全间隙扇区中，自旋和电荷激发都是间隙的。这与umklapp和后向散射有关。ts、ss和sdw不稳定性都被抑制。在c区域， 〈 ϕ c 〉 = 〈 ϕ s 〉 = 0 ，因此只有 o c d w o ≠ 0 。在d区域， 〈 ϕ s 〉 = 0 ，而 〈 ϕ c 〉 = π / 8 ，因此只有 o c d w e ≠ 0 。该系统是一个具有o-cdw或e-cdw不稳定性的绝缘体。

在另一个半间隙扇区e中，它的激发与区域a和b中的激发相反。自旋间隙处处打开，这导致抑制了ts和sdw的不稳定性。同时，电荷间隙总是关闭的，从而导致没有umklapp过程。这与luther-emery (le)后向散射模型的结构相吻合 [42] 。另一方面，自旋场的 〈 ϕ s 〉 = 0 ，而 ϕ c 场是波动的。因此， o s s 和 o c d w o , e 可以同时不为零。然而，它们的相关性表现出不同的衰减行为： γ s s ( r ) ∝ r − 1 / k c * ，而 γ c d w ( r ) ∝ r − k c * 。由于 k c * > 1 ，基态表现出具有以ss相关性为主导的le金属特征。

4. 总结

我们研究了一维扩展hubbard模型，除了额外的键荷排斥相互作用外，在位排斥作用考虑了在奇数和偶数位置不相等的情况。相比之下，本项研究可以提供对在位电子的更一般的描述。此外，所涉及的模型还与一些实际材料有关。因此，无论是理论还是实验，我们的考虑都是必要的。通过玻色化方法，将费米子哈密顿量转化为玻色子形式，通过两个独立的自旋场和电荷场可以方便地阐明基态性质。在自旋–电荷分离的假设下，该模型的红外行为可以用sine-gordon模型来说明，并且自旋隙和电荷隙可以独立存在。与此相关的后向和umklapp过程的出现可以通过重整化群分析来实现。结果表明，在四分之一填充的情况下，不相等的哈伯德斥力对umklapp散射有关键影响，在 u o , u e > 4 2 x 的情况下会发生umklapp散射。这不仅存在电荷隙转变，还存在自旋隙转变。如上图1所示：完整的相图由五个区域组成，分别包括三个不同的相。在以u_o为纵坐标，u_e为横坐标的平面上，相图相对于 u o = u e 线是对称的，这从物理角度看是一个自然的结果。由于所考虑的模型满足晶格平移不变性，当交换u_e和u_o参数时，哈密顿(2)保持不变。因此，无论是 u o > u e 还是 u o < u e ，基态结构必须是相同的。电荷–间隙相变线 u o = 4 2 x 和 u e = 4 2 x ，交点所围成的区域被划分为金属相和绝缘相，而自旋–间隙相变线 u o u e = 8 2 x 则把绝缘项分别划分为以cdw为主导的全隙相和以sdw为主导的半隙相。这种现象不同于传统的t-u-x模型的特点。该项研究有望增加对低维多体问题的理解。

参考文献