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一类非线性四阶p-laplace方程的弱解存在性问题
a class of weak solution existence problems for nonlinear fourth-order p-laplace equations

doi: , , html, , 科研立项经费支持
作者: 李莹：大连交通大学理学院，辽宁大连；梁波^*：滁州学院数学与金融学院，安徽滁州
关键词: ；；；；；；；

摘要: 主要介绍了一种证明弱解存在性的一种方法——变分法，变分法的基本内容是确定泛函的极值点和临界点，在一定条件下微分方程边值问题常常可以转化为变分问题来研究。首先通过给定的泛函求极值元，极值点处的方程在分部积分的意义下满足弱解定义，其次构造极小元泛函，将所求问题转化为求解相应泛函的极值元，即得方程弱解的存在性，接下来证明泛函极值元的存在性和弱解的唯一性，从而由变分方法确定该四阶定态p-laplace方程弱解的存在性问题。

abstract: this paper introduces a method to prove the existence of weak solutions—variational method. the basic content of variational method is to determine the extreme point and critical point of the functional. under certain conditions, the boundary value problem of differential equations can often be studied by converting the variational problem. this paper first uses the given functional to find the extreme value element, and the equation at the extreme point satisfies the definition of weak solution in the sense of distribution integral. secondly, we construct the minimal element functionals, and transform the problem into the corresponding universal extreme element, and we obtain the existence of weak solutions, and next, we prove the uniqueness of weak solutions and the existence of functional extremum elements. we finally give the existence of weak solutions for the weak solutions of the fourth-order stationary p-laplace equation through the variational method.

文章引用：李莹, 梁波. 一类非线性四阶p-laplace方程的弱解存在性问题[j]. 理论数学, 2024, 14(10): 66-73.

1. 引言

变分方法是针对非线性微分方程边值问题构建其相应的变分结构，然后利用一定的理论方法，比如利用山路引理、喷泉定理、和极小极大原理等方法([1] [2])来研究微分方程对应能量泛函的临界点的存在性和多重性[3]，从而得到微分方程解的存在性和多重性，在适当的周期函数空间e上定义一个泛函(即定义在函数空间上的函数) $φ$ ，使得泛函的临界点恰对应于微分方程的周期解，泛函 $φ$ 的临界点就是在e中使 $φ^{'} (x) = 0$ 的函数[4]。变分法在偏微分方程解研究中的历史可以追溯到17世纪后期，当时牛顿等人在利用微积分解决物理问题的过程中发现了变分法的基本原理。具体来说，变分法的起源与极值问题的研究密切相关。随着微积分和泛函分析的发展，变分法在解决各种复杂的数学物理问题中发挥了重要作用，将偏微分方程的解的存在问题转化为变分问题来研究，从而可以得到方程的解或解的存在性证明。此外，变分法还与其他数学分支如动力系统、拓扑学等有着密切联系，为这些领域的研究提供了新的思路和方法。随着数学理论的不断创新和计算机技术的不断发展，变分法逐渐成为求解偏微分方程的重要工具，求解效率和精度也将不断提高。

非线性微分方程边值问题[5]源于化学、控制论、工程学、生物学、物理学等一系列的科学领域[6]，也与我们的生活息息相关。通过与非线性泛函分析理论、泛函分析理论及其他分析技巧相结合来研究微分方程边值问题解的存在性和多解性，国内外很多学者对非线性微分方程的边值问题都有一定的关注。目前，在非线性微分方程边值问题方面，比较新颖的问题是利用变分方法来研究脉冲或奇异微分方程边值问题，奇异微分方程边值问题起源于气体动力学、边界层等中的非线性数学模型[7]，脉冲微分方程边值问题用来描述一些具体的现象。

椭圆型方程在许多的应用性学科中起到了至关重要的作用，这类方程在对现存的物理状态的描述、分析以及计算等都提供了其相应的基础模型，在广阔的数学物理应用方向里，近些年来，伴随着数学理论与应用性的不断完善，以及数学的理论与计算机科学的相结合，国内外的相关学者对椭圆型方程的研究得出了许多新的突破性的成果。在典型的椭圆型方程在物理应用领域中，该类方程主要对电磁场、重力场和反应扩散、能量传到等物理现象进行描述。moameni [8]在研究非凸自对偶lagrange算子导出的向量场及发展方程时提出了一种新的变分方法来灵活地解决势函数问题，该新的变分方法也适用于多种椭圆型方程问题的解决。

由于变分法适应的方程阶数不受限制，本文利用构造极小元泛函的方法将陈祖墀[9]，evans [10]王春朋[11]等提出的低阶椭圆型方程推广至高阶椭圆型方程，对一类非线性四阶椭圆型方程的弱解性问题进行讨论。

本文讨论如下四阶定态p-laplace椭圆型方程的弱解问题，设 $ω \subset ℝ^{n}$ 是一有界区域，其边界 $\partial ω$ 充分光滑，在 $ω$ 上考虑方程

${\begin{cases} δ ({| δ u |}^{p - 2} δ u) - \sum_{i, j = 1}^{n} d_{j} (a_{i j} d_{i} u) c u = f (x), \\ {u |}_{\partial ω} = 0, {\frac{\partial u}{\partial v} |}_{\partial ω} = 0, \end{cases}$ (1)

其中， $p > 2$ ， $u = u (x)$ 是方程(1)的解，可以用来表示薄膜的密度， $a_{i j}, c \in l^{\infty} (ω)$ ， $a_{i j} = a_{j i}$ ， $(a_{i j})$ 满足一致椭圆性条件，即存在常数 $0 < λ \leq λ$ ，使得

$λ {| ξ |}^{2} \leq a_{i j} (x) ξ_{i} ξ_{j} \leq λ {| ξ |}^{2}, \forall ξ \in ℝ^{n}, x \in ω .$

函数 $f (x) \in l^{2} (ω)$ ， $v$ 是 $\partial ω$ 上的单位外法向量。

2. 方程弱解的存在性

这一部分中给出方程(1)的弱解形式，以及其相应的泛函形式，同时给出方程(1)的弱解存在性，在这里首先给出此方程的弱解的定义。

2.1. 弱解的概念

定义1 称函数 $u \in w_{0}^{2, p} (ω)$ 为方程(1)的弱解，如果对任意的 $φ \in c_{0}^{\infty} (ω)$ ，有积分等式(1.1)成立。

$\int_{ω} {| δ u |}^{p - 2} δ u δ φ d x \sum_{i, j}^{n} \int_{ω} a_{i, j} d_{i} u d_{j} φ d x \int_{ω} c u φ d x = \int_{ω} f φ d x .$ (1.1)

并给出其相应的泛函形式为

$j (u) = \frac{1}{p} \int_{ω} {| δ u |}^{p} d x \frac{1}{2} \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} u d_{j} u d x \frac{1}{2} \int_{ω} c u^{2} d x - \int_{ω} f u d x .$ (1.2)

证明

下面将给出关于泛函 $j (u)$ 的证明

由于 $u \in w_{0}^{2, p} (ω)$ ，将问题(1.1)中的方程两边同时乘以 $u$ 并在 $ω$ 上积分，得到

$\int_{ω} δ ({| δ u |}^{p - 2} δ u) u d x - \sum_{i, j} \int_{ω} d_{j} (a_{i j} d_{i} u) u d x \int_{ω} c u^{2} d x = \int_{ω} f u d x .$ (1.3)

由分部积分及边界条件，有

$\int_{ω} δ ({| δ u |}^{p - 2} δ u) u d x = \int_{ω} ({| δ u |}^{p - 2} δ u) δ u d x = \int_{ω} {| δ u |}^{p} d x$ (1.4)

$\sum_{i, j} \int_{ω} d_{j} (a_{i j} d_{i} u) u d x = - \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} u d_{j} u d x$ (1.5)

因此有

$\int_{ω} {| δ u |}^{p} d x \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} u d_{j} u d x \int_{ω} c u^{2} d x = \int_{ω} f u d x .$ (1.6)

根据以上结果定义

$i (u) = \int_{ω} {| δ u |}^{p} d x \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} u d_{j} u d x \int_{ω} c u^{2} d x - \int_{ω} f u d x .$ (1.7)

由于 $i (λ u) = λ \frac{d j (λ u)}{d λ}$ ，并且

$i (λ u) = \int_{ω} {| δ λ u |}^{p} d x \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} λ u d_{j} λ u d x \int_{ω} c {(λ u)}^{2} d x - \int_{ω} f λ u d x .$ (1.8)

于是有

$\frac{i (λ u)}{λ} = λ^{p - 1} \int_{ω} {| δ u |}^{p} d x λ \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} u d_{j} u d x λ \int_{ω} c u^{2} d x - \int_{ω} f u d x$ .(1.9)

对 $\frac{i (λ u)}{λ} d λ = d j (λ u)$ 等式两边在 $ω$ 上积分得到

$j (λ u) = \frac{λ^{p}}{p} \int_{ω} {| δ u |}^{p} d x \frac{λ^{2}}{2} \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} u d_{j} u d x \frac{λ^{2}}{2} \int_{ω} c u^{2} d x - \int_{ω} f u d x .$ (1.10)

令 $λ = 1$ ，得

$j (u) = \frac{1}{p} \int_{ω} {| δ u |}^{p} d x \frac{1}{2} \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} u d_{j} u d x \frac{1}{2} \int_{ω} c u^{2} d x - \int_{ω} f u d x .$ (1.11)

2.2. 将问题转化为求相应泛函的极值元

命题1.1.1 若 $u \in w_{0}^{2, p} (ω)$ 为泛函 $j (v)$ 在 $w_{0}^{2, p} (ω)$ 上的极值元，则 $u$ 是该四阶p-laplace方程问题的弱解。

证明

为求解方程(1)，首先构造相应的泛函：

$j (v) = \frac{1}{p} {\int_{ω} | δ v |}^{p} d x \frac{1}{2} \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} v d_{j} v d x \frac{1}{2} \int_{ω} c v^{2} d x - \int_{ω} f v d x$ 。 (1.12)

泛函 $j (v)$ 对所有的 $v \in w_{}^{2, p} (ω)$ 有定义，由于要求的是满足边值条件的解，所以要在 $w_{0}^{2, p} (ω)$ 中求泛函 $j (v)$ 的极值元。

假设 $u \in w_{0}^{2, p} (ω)$ 为泛函 $j (v)$ 在 $w_{0}^{2, p} (ω)$ 上的极值元，比如极小元。对任一 $φ \in c_{0}^{\infty} (ω)$ 和 $ε \in ℝ$ ，有 $u ε φ \in w_{0}^{2, p} (ω)$ 。记

$\begin{matrix} f (ε) = j (u ε φ) = \frac{1}{p} \int_{ω} {| δ (u ε φ) |}^{p} d x \frac{1}{2} \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} (u ε φ) d_{j} (u ε φ) d x \\ \frac{1}{2} \int_{ω} c {(u ε φ)}^{2} d x - \int_{ω} f (u ε φ) d x . \end{matrix}$ (1.13)

因为 $u$ 是泛函 $j (v)$ 在 $w_{0}^{2, p} (ω)$ 上的极小元，所以 $f (ε)$ 在 $ε = 0$ 时取极小值，即 $f^{'} (0) = 0$ 。

由(1.13)有

$\begin{matrix} f^{'} (ε) = \int_{ω} {| δ (u ε φ) |}^{p - 1} δ φ d x \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} (u ε φ) d_{j} φ d x \\ \int_{ω} c (u ε φ) φ d x - \int_{ω} f (u ε φ) φ d x . \end{matrix}$ (1.14)

经过简单计算，有

$\int_{ω} {| δ u |}^{p - 2} δ u δ φ d x \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} u d_{j} φ d x \int_{ω} c u φ d x = \int_{ω} f φ d x .$ (1.15)

说明对任何 $φ \in c_{0}^{\infty} (ω)$ ， $u$ 满足弱解定义(1.1)式，即 $u$ 是方程(1)的弱解。

综上所述，证明了方程(1)弱解的存在性。

3. 泛函极值元的存在性

下面证明泛函极值元的存在性，首先给出以下引理。

引理2.1 存在常数 $c_{0} \leq 0$ ，使得当 $c \geq c_{0}$ 时，对任何 $f \in l^{2} (ω)$ ，泛函 $j (v)$ 在 $w_{0}^{2, p} (ω)$ 上有下界。

证明由庞加莱不等式和带 $ε$ 的柯西不等式知，对 $v \in w_{0}^{2, p} (ω)$ ，有

$\begin{matrix} j (v) \geq \frac{1}{p} \int_{ω} {| δ v |}^{p} d x \frac{λ}{2} \int_{ω} {| \nabla v |}^{2} d x \frac{c_{0}}{2} \int_{ω} v^{2} d x - \frac{ε}{2} \int_{ω} v^{2} d x - \frac{1}{2 ε} \int_{ω} f^{2} d x \\ \geq \frac{1}{p} \int_{ω} {| δ v |}^{p} d x \frac{λ}{2 μ} \int_{ω} v^{2} d x \frac{c_{0}}{2} \int_{ω} v^{2} d x - \frac{ε}{2} \int_{ω} v^{2} d x - \frac{1}{2 ε} \int_{ω} f^{2} d x \\ \geq \frac{1}{p} \int_{ω} {| δ v |}^{p} d x \frac{1}{2} (\frac{λ}{μ} c_{0} - ε) \int_{ω} v^{2} d x - \frac{1}{2 ε} \int_{ω} f^{2} d x, \end{matrix}$ (2.1)

其中 $μ > 0$ 是庞加莱不等式中的常数，可以知道只要 $ε > 0$ 取适当小，使得 $\frac{λ}{μ} - ε > 0$ ，而 $c_{0} \leq 0$ 满足 $\frac{λ}{μ} c_{0} - ε > 0$ ，则上式右端第二项是非负的，又由于 $p > 2$ ，上式右端第一项是非负的，则由上式可得

$j (v) \geq - \frac{1}{2 ε} \int_{ω} f^{2} d x$ 。 (2.2)

于是即证 $j (v)$ 的下方有界性。

泛函 $j (v)$ 既然有下界，就有下确界。由下确界的定义，必存在 $u_{k} \in w_{0}^{2, p} (ω)$ ，使得 $\lim_{k \to \infty} j (u_{k}) = \inf_{w_{0}^{2, p} (ω)} j (v)$ ，这时称 ${u_{k}}$ 为泛函 $j (v)$ 的极小序列。

引理2.2 泛函 $j (v)$ 的极小序列 ${u_{k}}$ 中存在弱收敛子序列 ${u_{k_{i}}}$ ：

$u_{k_{i}}$ 弱收敛于 $u$ ，于 $w_{0}^{2, p} (ω)$ ，

$u$ 为 $w_{0}^{2, p} (ω)$ 中的某一函数。

证明因为极限 $\lim_{k \to \infty} j (u_{k})$ 存在，所以存在常数 $m > 0$ ，使得 $| j (u_{k}) | \leq m$ 。利用带 $ε$ 的柯西不等式和柯西不等式，则有

$\begin{matrix} {\int_{ω} | δ v |}^{p} d x \leq - \frac{p}{2} \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} v_{k} d_{j} v_{k} d x - \frac{p}{2} \int_{ω} c v_{k}^{2} d x p \int_{ω} f v_{k} d x p j (v_{k}) \\ \leq - \frac{p}{2} (λ \int_{ω} {| \nabla v_{k} |}^{2} d x c_{0} \int_{ω} v_{k}^{2} d x) p (\frac{ε}{2} \int_{ω} v_{k}^{2} d x \frac{1}{2 ε} \int_{ω} f^{2} d x) p m \\ \leq - \frac{p}{2} (\frac{λ}{μ} \int_{ω} {| v_{k} |}^{2} d x c_{0} \int_{ω} v_{k}^{2} d x) p (\frac{ε}{2} \int_{ω} v_{k}^{2} d x \frac{1}{2 ε} \int_{ω} f^{2} d x) p m \\ = \frac{p}{2} (- \frac{λ}{μ} - c_{0} ε) \int_{ω} v_{k}^{2} d x \frac{p}{2 ε} \int_{ω} f^{2} d x p m ， \end{matrix}$ (2.3)

由 $p > 2$ ，和庞加莱不等式有

$\int_{ω} v_{k}^{2} d x \leq \int_{ω} v_{k}^{p} d x \leq μ \int_{ω} {| δ v_{k} |}^{p} d x$ ， (2.4)

从而有

$\frac{1}{μ} \int_{ω} v_{k}^{p} d x \leq \frac{p}{2} (- \frac{λ}{μ} - c_{0} ε) \int_{ω} v_{k}^{p} d x \frac{p}{2 ε} \int_{ω} f^{2} d x p m$ ， (2.5)

$\int_{ω} v_{k}^{p} d x \leq \frac{p μ}{2} (- \frac{λ}{μ} - c_{0} ε) \int_{ω} v_{k}^{p} d x \frac{p μ}{2 ε} \int_{ω} f^{2} d x p μ m$ ， (2.6)

取 $ε = c_{0} \frac{λ}{μ}$ 便得到

$\int_{ω} v_{k}^{p} d x \leq \frac{p μ^{2}}{2 (c_{0} μ λ)} \int_{ω} f^{2} d x p μ m .$ (2.7)

由 $w_{0}^{2, p} (ω)$ 空间的弱紧性定理，可知 ${v_{k}}$ 中存在 $w_{0}^{2, p} (ω)$ 中弱收敛的子序列。

引理2.3 $j (v)$ 在 $w_{0}^{2, p} (ω)$ 中是弱下半连续的，即对 $w_{0}^{2, p} (ω)$ 中任何弱收敛序列 ${v_{k}}$ ，若 $v_{k}$ 弱收敛于 $v (k \to \infty)$ 于 $w_{0}^{2, p} (ω)$ ，

则

$j (v) \leq \underset{k \to \infty}{\lim_{_}} j (v_{k})$ .

证明由 $l^{p}$ 范数以及 $l^{2}$ 范数的弱下半连续，有

${\int_{ω} | δ v |}^{p} d x \leq \underset{k \to \infty}{\lim_{_}} {\int_{ω} | δ v_{k} |}^{p} d x$ ， $\int_{ω} a_{i j} d_{i} v d_{j} v d x \leq \underset{k \to \infty}{\lim_{_}} \int_{ω} a_{i j} d_{i} v_{k} d_{j} v_{k} d x$ ， (2.8)

由 ${v_{k}}$ 的弱下半连续性，有

$\int_{ω} c v^{2} d x = \underset{k \to \infty}{\lim_{_}} \int_{ω} c v_{k}^{2} d x$ ， (2.9)

$\int_{ω} f v d x = \underset{k \to \infty}{\lim_{_}} \int_{ω} f v_{k} d x$ ， (2.10)

从而有

$\underset{k \to \infty}{\lim_{_}} j (v_{k}) = \underset{k \to \infty}{\lim_{_}} \frac{1}{p} {\int_{ω} | δ v_{k} |}^{p} d x \underset{k \to \infty}{\lim_{_}} \frac{1}{2} \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} v_{k} d_{j} v_{k} d x \underset{k \to \infty}{\lim_{_}} \frac{1}{2} \int_{ω} c v_{k}^{2} d x - \underset{k \to \infty}{\lim_{_}} \int_{ω} f v_{k} d x$ . (2.11)

$\geq \frac{1}{p} {\int_{ω} | δ v |}^{p} d x \frac{1}{2} \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} v d_{j} v d x \frac{1}{2} \int_{ω} c v^{2} d x - \int_{ω} f v d x = j (v)$ . (2.12)

得证

$j (v) \leq \underset{k \to \infty}{\lim_{_}} j (v_{k})$ . (2.13)

命题2.2 对任何 $f \in l^{2} (ω)$ ，泛函 $j (v)$ 在 $w_{0}^{2, p} (ω)$ 上有极小元存在。

证明由引理2.1泛函 $j (v)$ 在 $w_{0}^{2, p} (ω)$ 上有下界。设 ${u_{k}}$ 为泛函 $j (v)$ 在 $w_{0}^{2, p} (ω)$ 的极小序列。由引理2.2知，泛函 $j (v)$ 的极小序列 ${u_{k}}$ 中存在弱收敛子序列 ${u_{k_{i}}}$ ，设其弱极限为 $u$ ， $j (v)$ 在 $w_{0}^{2, p} (ω)$ 中的弱下半连续性包含

$\inf_{w_{0}^{2, p} (ω)} j (v) \leq j (u) \leq \underset{i \to \infty}{\lim_{_}} j (u_{k_{i}}) = \lim_{i \to \infty} j (u_{k_{i}}) = \inf_{w_{0}^{2, p} (ω)} j (v)$ ， (2.14)

因此有

$j (u) = \inf_{w_{0}^{2, p} (ω)} j (v)$ . (2.15)

即证泛函 $j (v)$ 在 $w_{0}^{2, p} (ω)$ 上存在极小元。

4. 方程弱解的存在唯一性

定理3.1 对任何 $f \in l^{2} (ω)$ ，方程(1)恒存在唯一的弱解。

证明设 $u_{1}, u_{2} \in w_{0}^{2, p} (ω)$ 为方程(1)的两个不同的弱解，则由弱解的定义以及 $c_{0}^{\infty} (ω)$ 在 $w_{0}^{2, q} (ω)$ 中的稠密性，有 $φ \in w_{0}^{2, q} (ω)$ ，其中 $\frac{1}{p} \frac{1}{q} = 1$ ，

将 $u_{1}$ ， $u_{2}$ 分别带入到(1.1)式中，我们可以得到下面两个不同的式子如下

$\int_{ω} {| δ u_{1} |}^{p - 2} δ u_{1} δ φ d x \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} u_{1} d_{j} φ d x \int_{ω} c u_{1} φ d x = \int_{ω} f φ d x,$ (3.1)

$\int_{ω} {| δ u_{2} |}^{p - 2} δ u_{2} δ φ d x \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} u_{2} d_{j} φ d x \int_{ω} c u_{2} φ d x = \int_{ω} f φ d x,$ (3.2)

将(3.1)式减去(3.2)式就可以得到如下等式

$\int_{ω} ({| δ u_{1} |}^{p - 1} - {| δ u_{2} |}^{p - 1}) δ φ d x \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} (d_{i} u_{1} - d_{i} u_{2}) d_{j} φ d x \int_{ω} c (u_{1} - u_{2}) φ d x = 0$ . (3.3)

令 $u = u_{1} - u_{2}$ ，并且 $u \neq 0$ ，特别地取 $φ = u$ 便得

$\int_{ω} ({| δ u_{1} |}^{p - 1} - {| δ u_{2} |}^{p - 1}) δ u d x \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} (d_{i} u_{1} - d_{i} u_{2}) d_{j} u d x \int_{ω} c (u_{1} - u_{2}) u d x = 0$ (3.4)

由于 $u = u_{1} - u_{2}$ 于是得到如下等式

$\int_{ω} ({| δ u_{1} |}^{p - 1} - {| δ u_{2} |}^{p - 1}) δ (u_{1} - u_{2}) d x \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} u d_{j} u d x \int_{ω} c u^{2} d x = 0$ . (3.5)

其中

$\int_{ω} ({| δ u_{1} |}^{p - 1} - {| δ u_{2} |}^{p - 1}) δ (u_{1} - u_{2}) d x = \int_{ω} ({| δ u_{1} |}^{p - 1} - {| δ u_{2} |}^{p - 1}) (δ u_{1} - δ u_{2}) d x \geq 0$ . (3.6)

$\sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} u d_{j} u d x \geq λ \int_{ω} {| \nabla u |}^{2} d x \geq 0$ . (3.7)

从而有

$\int_{ω} c u^{2} d x \leq \int_{ω} ({| δ u_{1} |}^{p - 1} - {| δ u_{2} |}^{p - 1}) δ u d x \sum_{i, j} \int_{ω} a_{i j} d_{i} u d_{j} u d x \int_{ω} c u^{2} d x = 0$ . (3.8)

即

$\int_{ω} c u^{2} d x \leq 0$ . (3.9)

从而 $u = 0$ a.e.于 $ω$ ，即 $u_{1} = u_{2}$ 。即证方程(1)的弱解的存在唯一性。

因此，恒存在唯一弱解 $u$ 满足四阶p-laplace方程(1)。

5. 结语

p-laplace方程是laplace方程的一种推广，其中参数p的引入使得方程能够描述更广泛的物理现象。在弹性力学中，常用于描述弹性体的应力分布和变形情况。在流体力学中，可能用于模拟高粘度流体、非牛顿流体或具有特殊流动特性的流体系统。在图像处理领域，laplace算子常用于边缘检测和图像锐化。p-laplace方程的推广可能用于开发更复杂的图像处理算法，以处理具有特殊纹理或噪声的图像。非线性方程往往与系统的稳定性和分岔现象密切相关。

使用变分方法，首先通过构造相应的极小元泛函，通过求解泛函的极值得出其相应泛函在分部积分的意义下满足弱解的方程，从而得出弱解的存在性，接下来对极值元的存在性进行进一步分析，证得极值元的存在性，接下来通过叠加原理证得弱解的唯一性，从而最终给出弱解的存在唯一性，除了使用变分方法还有其他解决椭圆型方程解的存在性的方法，比如riesz表示定理，lax-milgram定理等都可以解决椭圆型方程的弱解存在性问题，靳振峰[12]利用变分方法研究了带有周期磁势和临界非线性项的分数阶choquard方程解的存在性问题，对于高阶的椭圆型方程，运用变分法将求解极小元泛函和高阶椭圆型方程弱解存在问题联系在一起，能够很好的解决了求解高阶椭圆型方程弱解存在问题的困难。

基金项目

辽宁省教育厅高校科研项目资助(编号：ljkmz20220832)。

notes

^*通讯作者。

参考文献

[1]	ambrosetti, a., brezis, h. and cerami, g. (1994) combined effects of concave and convex nonlinearities in some elliptic problems. journal of functional analysis, 122, 519-543.
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