(2 1)维空时分数阶ablowitz-凯发娱乐官网

1. 引言

近年来，分数阶微积分在多个学科领域的应用和研究呈现出蓬勃之势，如，光纤光学、流体力学、通信工程、核物理等。因此对分数阶偏微分方程的性质及其解的探讨是有重要现实意义的。目前构造分数阶偏微分方程精确行波解的方法主要有：动力系统分岔法[1] [2]，painlevé分析法[3] [4]，kudryashv方法[5]-[7]，hirota双线性法[8]，jacobi 椭圆函数展开法[9] [10]，多项式判别系统法[11] [12]。tanh-函数展开法最早是由malfiet在构建非线性发展方程孤立波解系统提出的，范恩贵将其扩展，得到了tanh-函数展开法[13]-[17]。

考虑如下的(2 1)维空时分数阶ablowitz-kaup-newell-segur (akns)方程[18] [19]：

4 d x β d t α u d x β d x β d x β d y γ u 8 d x β d y γ u d x β u 4 d y γ u d x β d x β u−a d x β d x β u=0 (1)

其中0<α,β,γ≤1 。akns方程能是一类非常重要的数学模型，可以简化为kdv、mkdv、sine-gordon和非线性schrödinger方程，因此受到广泛关注。文献[18]用(g'/g)-展开法获得到(2 1)维空时分数阶akns方程的部分精确解。本文将引入复行波变换和借助扩展的tanh-函数展开法构造(2 1)维空时分数阶akns方程一类新的精确行波解。

2. 分数阶导数及其性质

α 阶jumarie’s修正的riemann-liouville分数阶导数定义[19]：

d t α f( t )={ 1 γ( 1−α ) d dt ∫ 0 t ( t−ξ ) −α [ f( ξ )−f( 0 ) ]dξ,0≤α<1 ( f ( n ) ( t ) ) α−n ,n≤α<n 1,n≥1 (2)

这里γ( ⋅ ) 为gamma函数：

γ( x )= ∫ 0 x e −t e x−1 dt (3)

riemann-liouville分数阶导数性质如下：

d t α x γ = γ( 1 γ ) γ( 1 γ−α ) t γ−α ,γ>0 (4)

d t α [ f( t )g( t ) ]=f( t ) d t α g( t ) g( t ) d t α f( t ) (5)

d t α f[ g( t ) ]= f ′ g [ g( t ) ] d t α g( t )= d g α f[ g( t ) ] ( g ′ t ( t ) ) α (6)

3. 方法描述

考虑如下非线性分数阶偏微分方程：

f( u, d t α u, d x β u, d y γ u, d t 2α u, d t α d x β u, d x 2β u,⋯ )=0,0<α,β,γ<1 (7)

其中d t α u, d x β u, d y γ u 是u关于x,y,t 的分数阶导数，f是u及其偏导数的多项式。

步骤1 引入复行波变换：

{ u( x,y,t )=u( ξ ) ξ= k 2 x β γ( 1 β ) k 3 y γ γ( 1 γ ) k 1 t α γ( 1 α ) (8)

其中k 1 , k 2 , k 3 是非零常数。

将方程(8)代入方程(7)中，方程(7)转化为整数阶常微分方程：

q( u, k 1 u ′ , k 2 u ′ , k 3 u ′ , k 1 k 2 u ″ ,⋯ )=0 (9)

步骤2 假设方程(9)具有下面形式的解：

u( ξ )= a 0 ∑ n=1 n ( a n ϕ n ( ξ ) b n ϕ −n ( ξ ) ) (10)

其中a n , b n ( n=1,2,⋯,n ) 为待定常数，正整数n由平衡线性最高阶导数项和最高次幂的非线性项确定，且ϕ=ϕ( ξ ) 满足riccati方程：

ϕ ′ ( ξ )=σ ϕ 2 ( ξ ) (11)

其中σ 为任意常数。

对于ϕ ，根据常数σ 的取值，有如下三种类型的解：

ϕ( ξ )={ − −σ tanh −σ ξ,σ<0 − −σ coth −σ ξ,σ<0 σ tan σ ξ,σ>0 − σ cot σ ξ,σ>0 − 1 ξ ,σ=0 (12)

步骤3 将方程(10)和方程(11)式代入方程(9)中，令ϕ i 的系数为零，则得到关于a i , b i ( n=1,2,⋯,n ) 的代数方程组，计算得到方程(7)不同类型的精确行波解。

4. 运用与结果

对方程(1)作复行波变换得：

4 k 1 k 2 u ″ k 1 3 k 2 u ( 4 ) 12 k 1 2 k 2 u ′ u ″ −a k 1 2 u ″ =0 (13)

方程(13)两边关于ξ 积分一次，可得：

( 4 k 3 −a k 1 ) u ′ k 1 2 k 2 u ‴ 6 k 1 k 2 u ′ 2 =0 (14)

由(14)中的最高阶导数项和最高次幂的非线性项，有n=1 ，因此方程(10)转化为：

u( ξ )= a 0 a 1 ϕ( ξ ) b 1 ϕ −1 ( ξ ) (15)

将方程(11)和(15)一起代入方程(10)，后令ϕ i 的系数为0，可得以a 0 , a 1 , b 1 为未知数的代数方程组：

{ 6 k 1 2 k 2 a 1 6 k 1 k 2 a 1 2 =0 8 k 1 2 k 2 a 1 12 k 1 k 2 ( a 1 σ− b 1 ) a 1 ( 4 k 3 −a k 1 ) a 1 =0 ( 4 k 3 −a k 1 )( a 1 σ− b 1 ) k 1 2 k 2 ( 2 a 1 σ 2 −2 b 1 σ ) 6 k 1 k 2 ( a 1 2 ϕ 2 b 1 −4 a 1 b 1 ϕ )=0 −( 4 k 3 −a k 1 ) b 1 ϕ−8 k 1 2 k 2 b 1 ϕ 2 −12 k 1 k 2 ( a 1 σ− b 1 ) b 1 ϕ=0 −6 k 1 2 k 2 b 1 ϕ 3 6 k 1 k 2 b 1 2 ϕ 2 =0 (16)

用maple求解该方程组可得：

a 0 = a 0 , a 1 =− k 1 , b 1 =0,σ= 4 k 3 −a k 1 4 k 1 2 k 2 (17)

a 0 = a 0 , a 1 =0, b 1 = 4 k 3 −a k 1 4 k 1 k 2 ,σ= 4 k 3 −a k 1 4 k 1 2 k 2 (18)

a 0 = a 0 , a 1 =− k 1 , b 1 = 4 k 3 −a k 1 16 k 1 k 2 ,σ= 4 k 3 −a k 1 16 k 1 2 k 2 (19)

情形1 当σ<0 时，方程(1)有如下形式的孤立波解：

u 1 ( ξ )= a 0 ± − 4 k 3 −a k 1 4 k 2 tanh − 4 k 3 −a k 1 4 k 1 2 k 2 ξ (20)

u 2 ( ξ )= a 0 ± − 4 k 3 −a k 1 4 k 2 coth − 4 k 3 −a k 1 4 k 1 2 k 2 ξ (21)

u 3 ( ξ )= a 0 ± − 4 k 3 −a k 1 16 k 2 ( tanh − 4 k 3 −a k 1 16 k 1 2 k 2 ξ∓coth − 4 k 3 −a k 1 16 k 1 2 k 2 ξ ) (22)

情形2 当σ>0 时，方程(1)有如下形式的周期波解：

u 4 ( ξ )= a 0 ± 4 k 3 −a k 1 4 k 2 tan 4 k 3 −a k 1 4 k 1 2 k 2 ξ (23)

u 5 ( ξ )= a 0 ± 4 k 3 −a k 1 4 k 2 cot 4 k 3 −a k 1 4 k 1 2 k 2 ξ (24)

u 6 ( ξ )= a 0 ± − 4 k 3 −a k 1 16 k 2 ( tan − 4 k 3 −a k 1 16 k 1 2 k 2 ξ∓cot − 4 k 3 −a k 1 16 k 1 2 k 2 ξ ) (25)

情形3 当σ=0 时，方程(1)有如下形式的有理函数解：

u 6 ( ξ )= a 0 k 1 ξ (26)

为加深对解的结构理解，运用maple软件作出部分解的三维图，如下图1和图2分别表示孤立波解u 1 ( ξ ) 、u 2 ( ξ ) 。如下图3和图4分别表示周期波解u 4 ( ξ ) 、u 5 ( ξ ) 。

figure 1. solitary wave solution u 1 ( ξ )

图1. 孤立波解u 1 ( ξ )

figure 2. solitary wave solution u 2 ( ξ )

图2. 孤立波解u 2 ( ξ )

figure 3. periodic wave solution u 4 ( ξ )

图3. 周期波解u 4 ( ξ )

figure 4. periodic wave solution u 5 ( ξ )

图4. 周期波解u 5 ( ξ )

5. 结论

本文考虑求解了(2 1)维空时分数阶akns方程。通过riemann-liouville分数阶导数和复行波变换相结合，将(2 1)维空时分数阶akns方程简化为一个常微分方程，利用扩展的tanh-函数展开法得到其系列新精确解。借助maple软件作出部分解的三维图，这些三维图的生成对于进一步分析、深入理解和构建孤立波在光纤中传输的演化过程具有显著帮助。结果表明，该方法简洁有效，能够用来求解一类的非线性分数阶偏方程。

参考文献