全概率和贝叶斯公式的教学案例分析-凯发娱乐官网

1. 引言

概率论与数理统计中全概率公式和贝叶斯公式占据着至关重要的地位。它们犹如两把锐利的工具，在解决各类实际问题中发挥着强大的作用。全概率公式为解决复杂事件的概率问题提供了一种系统的方法，通过将一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，从而实现概率的计算。贝叶斯公式则在已知结果的情况下，反推导致该结果的原因的概率，体现了一种逆向思维的方式。这两个公式不仅在数学理论上具有重要地位，而且在实际生活中的诸多领域，如医学诊断、风险评估、信息处理等方面都发挥着关键作用。

在教学过程中，全概率和贝叶斯公式却存在着不少难点。一方面，这两个公式的概念较为抽象，学生往往难以理解其本质含义。另一方面，公式的应用场景较为复杂，学生在实际问题中难以准确地确定事件的关系和条件，从而导致错误的计算结果。

基于这些教学难点，教学案例的设计显得尤为重要。教学案例设计的初衷在于通过具体的、实际的问题情境，帮助学生更好地理解全概率和贝叶斯公式的概念和应用。以生动的案例为载体，将抽象的公式转化为具体的问题解决过程，让学生在实际操作中感受公式的魅力和力量。综上所述，对全概率和贝叶斯公式教学案例的研究具有重要的必要性和创新性。它不仅有助于解决教学中的难点问题，提高教学质量。

本文将围绕全概率和贝叶斯公式的教学案例展开讨论，深入剖析其在不同情境下的应用，以期为相关领域的学习和研究提供有益的参考。大多数学者对贝叶斯公式进行了教学案例分析[1]-[4]，而涉及到全概率与贝叶斯公式两者的较少。本研究旨在通过具体的教学案例，探讨如何在全概率公式和贝叶斯公式的教学中，巧妙融入教学案例。

2. 全概率和贝叶斯公式

全概率公式本质上是由因求果，即事件a的发生是由事件b i ( i=1,2,⋯,n ) 引起的，每一事件都可能导致事件a发生，a发生的概率是各事件b i ( i=1,2,⋯,n ) 引起事件a发生的概率总和。也就是说，每个事件b i ( i=1,2,⋯,n ) 对结果的发生有一定的“作用”，事件a发生的可能性与各个事件的“作用”大小有关。而贝叶斯公式本质上是知道结果探寻原因(“执因寻果”)的过程，即在事件a (结果)发生的条件下，求b i ( i=1,2,3 ) (原因)发生的概率，就把问题归结为求条件概率的问题了。基本思想如下：

其中事件b 1 , b 2 ,⋯, b n 满足

1) b i ∩ b j =φ( i≠j )

2) ∪ i=1 n b i =ω

则事件a发生的概率为

p( a )=p( a∩ω )=p( ∪ i=1 n a b i )= ∑ i=1 n p( a b i ) = ∑ i=1 n p( b i )p( a| b i )

即可得到

定理1：(全概率公式)设a为任意事件，事件组b 1 , b 2 ,⋯, b n 为样本空间ω 的一个划分且p( b i )>0 ，则

p( a )= ∑ i=1 n p( b i )p( a| b i )

定理2：(贝叶斯公式)设a为任意事件，事件组b 1 , b 2 ,⋯, b n 为样本空间ω 的一个划分且p( a )>0 ，则

p( b i |a )= p( b i )p( a| b i ) ∑ i=1 n p( b i )p( a| b i )

3. 全概率和贝叶斯公式教学案例设计

教学案例i：囚徒的智慧

情景引入：有一个囚徒被国王判了死刑，国王听说他很聪明，就给了他一次免死的机会。允许他在两个坛子当中放进去50个黑球，50个白球混合，蒙上他的眼睛，任取一坛，再摸一个球，如果摸到白球，则免他一死。在蒙上眼睛前给他一次机会让他自由选择如何混合放入这100个球。

教学活动：先由学生自主讨论，学习交流如果你是这个囚徒，你会怎么分配这100个球才能使自己死里逃生的机会最大呢？教师给出点评。

假设所选择的方案是将5个白球和20个黑球放在一号坛，剩下的45个白球和30个黑球放在二号坛，具体如下：

【模型】从如下两个坛子中任取一个后，从中任意摸出一个球

【设问】取到白球的概率是多少？

分析：取到白球可能来自于第1号坛，也可能来自于第2号坛，设a为“取到白球”，b i ( i=1,2 ) 为“取出的白球来自于第i号坛”。由题意知，p( b 1 )=0.5 ，p( b 2 )=0.5 ，p( a| b 1 )=0.2 ，p( a| b 2 )=0.6 。从而根据全概率公式可得取到白球的概率如下：

p( a )=p( b 1 )p( a| b 1 ) p( b 2 )p( a| b 2 ) =0.5×0.2 0.5×0.6=0.4

为了使取到白球的概率最大，即囚徒死里逃生的机会最大，可以通过控制1号坛取到白球的概率最大，2号坛保证取到白球的概率尽可能最大化，最终得到的白球概率最大，具体方法如下表1。

设计意图：从“囚徒的智慧”这个案例中可以看出要想使囚徒死里逃生的机会最大，就必须要扬长补短。

table 1. touching ball scheme with maximum probability of getting white ball

表1. 取到白球概率最大化的摸球方案

从“扬长”的角度来看，提醒学生要善于发现和发挥自己的长处，要清晰地认识到自身的优势所在，并充分利用它们。在学习、工作和生活中，应当明确自己的擅长之处，无论是学科知识、技能特长还是性格优点，将其发挥到极致，为实现目标创造有利条件。从“补短”的角度来看，这意味着不能忽视自身的不足和弱点，认识到自己的短板，是进步的开始，要有勇气面对自身的缺陷，通过努力学习、不断训练来弥补不足，提升自己的综合能力。

总之，全概率公式中的“扬长补短”思想，为学生的个人成长、团队协作以及应对生活中的各种挑战提供了宝贵的指导，激励学生不断追求自我完善，以更加积极和智慧的方式面对人生。

教学案例ii：

情景引入：某零件厂有三条流水线生产同一款汽车零件，具体生产数据如下表2。

table 2. specific production data of the same automobile part produced by three assembly lines

表2. 三条流水线生产同一款汽车零件的具体生产数据

该零件厂定期进行质量检测，某一天抽样调查过程中抽到一件次品。

教学活动：让学生思考这件次品来自哪条流水线的概率最大呢？

大部分学生凭借自己直观的感受认为第二条流水线中的次品率最大，该次品来自第二条流水线的概率也最大。然而事实真是如此吗？倘若成立，那其余的五个数据又有何意义呢？

分析：三条流水线生产同一款零件，都有可能产生次品。把三条流水线当成是产生次品的三个原因，把产品是次品当成是结果，此时求零件为次品的概率被认为是从原因到结果(“执因求果”)的过程，可以使用全概率公式。

设a为“取出的零件是次品”，b i ( i=1,2,3 ) 为“取出的次品来自于第i条流水线”。由题意知，p( b 1 )=0.45 ，p( b 2 )=0.23 ，p( b 3 )=0.32 ，p( a| b 1 )=0.015 ，p( a| b 2 )=0.032 ，p( a| b 3 )=0.025 .从而零件为次品的概率如下：

p( a )=p( b 1 )p( a| b 1 ) p( b 2 )p( a| b 2 ) p( b 3 )p( a| b 3 ) =0.45×0.015 0.23×0.032 0.32×0.025=0.02179

现在把问题的思路转换一下：已知零件为次品，求它来自哪条生产线的概率最大，也就是知道结果探寻原因(“执因寻果”)的过程。即在事件a(结果)发生的条件下，求b i ( i=1,2,3 ) (原因)发生的概率，就把问题归结为求条件概率的问题了，即贝叶斯公式。

p( b 1 |a )= p( b 1 )p( a| b 1 ) p( a ) = 0.45×0.015 0.02179 ≈0.310 ，

p( b 2 |a )= p( b 2 )p( a| b 2 ) p( a ) = 0.23×0.032 0.02179 ≈0.338 ，

p( b 3 |a )= p( b 3 )p( a| b 3 ) p( a ) = 0.32×0.025 0.02175 ≈0.367 .

从上述计算结果可知，该次品零件来自于第三条生产线，与直观感受有所差异。

设计意图：通过此案例让学生感受到在面对问题时，不能仅仅凭借主观的感觉或经验，而是要通过收集、整理和分析相关的数据来支持我们的判断，不能想当然。在今后的学习、工作和生活中，能够更加理性、客观地看待问题，做出科学合理的决策，为个人的发展和社会的进步贡献自己的力量。

教学案例iii：

情景引入：众所周知地球由大面积的海洋覆盖着，航空母舰的出现，让人们可以更好地利用海洋进行作战。如果要问航母上什么最关键，那必须是航载机，如果没有航载机，航母就没有存在的意义。但是在航母上还有一个非常重要的存在，那就是阻拦索，航空母舰上一般配置着四根阻拦索，那么是不是只要钩住其中一根阻拦索，基本能保证航载舰安全停下来呢？事实上不是这样，往往钩住第二条才是最好的，因为钩住第二条的话，有足够的滑行空间，第三条也能满足，相对来说距离短点，最后一根距离更短。将其量化为概率，即，钩住第一条、第二条、第三条、第四条阻拦索后舰载机着舰发生事故的概率为80%、5%、10%、30%，未钩住阻拦索后舰载机着舰发生事故的概率为90%。根据相关数据“辽宁舰”的载舰机白天钩住第一条、第二条、第三条和第四条阻拦索的概率为18%、42%、20%、15%，未钩住阻拦索的概率为5%。

教学活动：试问如果舰载机着舰发生事故，钩住哪条阻拦索的概率最大呢？

分析：载舰机钩住阻拦索的五种情形都有可能导致舰载机着舰时发生事故，把五种情形当成是发生事故的五个原因，把发生事故当成是结果，此时求发生事故的概率看成是从原因到结果(“执因求果”)的过程，可以使用全概率公式。

设a表示“舰载舰着舰时发生事故”，b i ( i=1,2,3,4 ) 表示“钩住第i条阻拦索”，b 5 表示未钩住阻拦索。由题意知，p( b 1 )=0.18 ，p( b 2 )=0.42 ，p( b 3 )=0.20 ，p( b 4 )=0.15 ，p( b 5 )=0.05 ，p( a| b 1 )=0.8 ，p( a| b 2 )=0.05 ，p( a| b 3 )=0.1 ，p( a| b 4 )=0.3 ，p( a| b 5 )=0.9 .从而舰载机着舰时发生事故的概率如下：

p( a )= ∑ i=1 5 p( b i )p( a| b i ) =0.275

从计算结果看出事故发生的概率虽然不高，但是若能进一步降低事故发生的概率，那将大大提高航母的工作质量。那接下来思考舰载机发生事故时钩住哪条阻拦索的概率最大。

思路转换一下：已知舰载机发生事故，求它钩住哪条阻拦索的概率最大，也就是知道结果探寻原因(“执因寻果”)的过程。即在事件a (结果)发生的条件下，求b i ( i=1,2,3,4,5 ) (原因)发生的概率，就把问题归结为求条件概率的问题了，即贝叶斯公式。

p( b 1 |a )= p( b 1 )p( a| b 1 ) p( a ) = 0.18×0.8 0.275 ≈0.5236 ，

p( b 2 |a )= p( b 2 )p( a| b 2 ) p( a ) = 0.42×0.05 0.275 ≈0.0764 ，

p( b 3 |a )= p( b 3 )p( a| b 3 ) p( a ) = 0.2×0.1 0.275 ≈0.0727 ，

p( b 4 |a )= p( b 4 )p( a| b 4 ) p( a ) = 0.15×0.3 0.275 ≈0.1636 ，

p( b 5 |a )= p( b 5 )p( a| b 5 ) p( a ) = 0.05×0.9 0.275 ≈0.1636 .

设计意图：从上述计算结果可知，舰载机发生事故时钩住第一条阻拦索的概率最大。这里，要向学生说明，事故发生有50%以上来自于舰载机飞行员钩住了第一条阻拦索，而仅有7%是来自于舰载机飞行员钩住了第二条阻拦索，因此要想降低事故发生的概率就需要降低钩住第一阻拦索的概率，这就需要舰载机飞行员不断练习，加大钩住第二条阻拦索的概率。同时要体会到这样的事故在实战中一旦发生便会直接影响航母的战斗力，让学员设身处地地去体会“平时多努力、台上才能稳扎稳打”所蕴含的道理。

4. 讨论

笔者分别在2022~2023年第二学期、2023~2024第二学期中承担了20本计算机6~7班、22本计算机1~2班的《概率论与数理统计》的教学工作，将20本计算机6~7班作为对照组，使用的教学方法为传统教学法，主要以理论为主，2023~2024第二学期中承担了22本计算机1~2班作为实验组，使用的教学方法为案例教学法，现对这四个班级期末考试全概率和贝叶斯公式考点的得分情况进行分析，该考点的总分为12分。

table 3. the score of total probability and bayesian formula test sites in the final exam of four classes

表3. 四个班级期末考试全概率和贝叶斯公式考点的得分情况

结合以上图表(表3)，从不同角度分析学生成绩：

0分段：20本计算机6~7班的0分段分别为54.29%和54.17%，22本计算机1~2班的0分段分别为22.81%和13.79%，22本计算机1~2班0分段远远低于20本计算机6~7班，从中看出教学案例法相较于传统的理论教学法，学生对于全概率与贝叶斯公式的掌握情况有明显提高。

11~12分段：20本计算机6~7班的11~12分段分别为0.00%和4.17%，22本计算机1~2班的11~12分段分别为15.79%和8.62%，22本计算机1~2班优秀率仍高于20本计算机6~7班，也能进一步说明教学案例法相较于传统的理论教学法，学生对于全概率与贝叶斯公式的掌握情况有明显提高。

此外，传统教学方法通常以理论讲授为主，注重知识的系统性和逻辑性。而案例教学则以实际问题为导向，通过具体的案例分析引导学生理解和应用知识。案例教学具有以下优势：一是能够提高学生的学习兴趣和参与度，使学生更加主动地学习；二是能够培养学生的分析问题和解决问题的能力，提高学生的实际应用能力；三是能够促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队精神；四是能培养学生正确的三观。

5. 总结

本论文以全概率和贝叶斯公式为核心，深入探讨了这两个重要概率公式在实际问题中的应用。首先介绍了全概率公式与贝叶斯公式的基本概念和理论基础。然后通过具体的教学案例将全概率和贝叶斯公式融入到日常生活中，培养学生正确的三观。

参考文献