拓展里奇流中共轭热方程的harnack不等式-凯发娱乐官网

1. 引言

假设( m n ,g( t ) ) 是带有一族黎曼度量g( t ) 的n维黎曼流形，t∈[ 0,t ] ，另记α n 是与时间无关的非负常数，以及φ( ⋅,t ):m→ℝ 是与时间有关的函数，满足如下发展方程

{ ∂g ∂t =−2ric 2 α n dφ⊗dφ ∂φ ∂t =δφ (1.1)

其中ric 是里奇曲率张量，方程(1.1)即是由b. list [1]引入的拓展里奇流(extended ricci flow)，记sy=ric− α n dφ⊗dφ ，s= g ij s ij =r− α n | dφ | 2 是sy 关于黎曼度量g( t ) 的迹。

相较于hamilton里奇流，拓展里奇流最大的区别在于其与广义相对论的联系。爱因斯坦方程数值演化的一个重要问题就是构建良好的初始数据集，而这些数据集需要满足一些约束方程，使用抛物线系统可以很好的用来改进这些数据集，尤其适用于静态解，因此利用方程(1.1)的解来近似静态解是可能的。另一方面的应用与bartnik [2]所提出的准局部质量定义有关，在加入适当的抛物线边界条件后，方程(1.1)有助于构建静态最小质量扩展，从而根据bartnik的猜想提供质量定义中的最小值。

在本文中我们主要考虑拓展里奇流下带位势的共轭热方程正解的harnack不等式。harnack不等式在黎曼流形中的研究最早源于李伟光和丘成桐[3]，他们得到了度量固定时黎曼流形上具有位势的热方程正解的harnack不等式。r. hamilton [4]则在随后的研究中进一步得到了具有正曲率算子的里奇流下harnack不等式的矩阵形式，这一结论在庞加莱猜想的证明中起到了重要作用。在文献[5]中第9节，g. perelman更是在其研究中证明了在紧致流形上的里奇流下共轭热方程基本解的harnack不等式，更确切的来讲，令( m,g( t ) ),t∈[ 0,t ] 是里奇流在闭流形上的一个解，以及是共轭热方程的一个正基本解，即

∂ t u=−δu ru

定义τ=t−t ，u= ( 4πτ ) −n/2 e −f ，其中f为位势函数，perelman证明了

τ( 2δf− | ∇f | 2 r ) f−n≤0,τ∈( 0,t ].

值得注意的是g. perelman在其证明中并未作出曲率为正的假设。

本文的主要结论如下所示：

定理1. 假设( m n ,g( t ),φ( ⋅,t ) ),t∈[ 0,t ] 是拓展里奇流(1.1)的解，u= ( 4πτ ) −n/2 e −f 是共轭热方程的基本解，即

□ * u=0 (1.2)

其中□ * =− ∂ ∂t −δ s= ∂ ∂τ −δ s ，τ=t−t ，f为位势函数。令

v=[ τ( 2δf− | ∇f | 2 s ) f−n ]u,

则有

□ * v=−2τu | sy ∇∇f− g 2τ | 2 −2 α n τu | δφ−〈 ∇φ,∇f 〉 | 2 . (1.3)

并且有如下不等式成立

τ( 2δf− | ∇f | 2 s ) f−n≤0,∀τ∈[ 0,t ]. (1.4)

在第2节中我们给出定理1的详细证明过程。

2. 定理及其证明

我们首先给出在证明过程中所需用到的几何量的发展方程。在此之前，我们先给出计算过程中所需的克里斯托弗符号γ ij k 以及(3, 1)型黎曼曲率张量r ijk l 的计算公式如下：

γ ij k = 1 2 g kl ( ∂ i g jl ∂ j g il − ∂ l g ij ), r ijk l = ∂ i γ jk l − ∂ j γ ik l γ jk p γ ip l − γ ik p γ jp l .

其中指标求和均按照爱因斯坦求和约定表示(下同)，因此(4, 0)型黎曼曲率张量r ijkl = g lm r ijk m ，里奇曲率张量r jk = ∑ i=1 n r ijk i 。

引理1. 假设( m,g( t ),φ( ⋅,t ) ) 是拓展里奇流的一个解，则有如下发展方程成立：

1) ∂ t γ ij k = g kl ( − ∇ i r jl − ∇ j r il ∇ l r ij 2 α n ∇ i ∇ j φ ∂ l φ ) ，

2) ∂ t | dφ | 2 =δ | dφ | 2 −2 | ∇ 2 φ | 2 −2 α n | dφ | 4 ，

3) ∂ t s ij =δ s ij − r ip s jp − r jp s ip −2 r pijq s pq 2 α n δφ ∇ i ∇ j φ ，

4) ∂ t s=δs 2 | sy | 2 2 α n | δφ | 2 ，

5) ∂ t dv=−sdv 。

证明：引理1中各式证明均可以通过直接的求导运算证得，详细证明过程可参考文献[1]。

为方便计算，记h=2δf− | ∇f | 2 s f τ − n τ ，因此v可以进一步表示为

v=[ τ( 2δf− | ∇f | 2 s ) f−n ]u=τhu. (2.1)

在文献[6]中，方守文给出了h在一般形式下的发展方程但并未给出具体证明过程，在这里我们给出h发展方程的详细证明过程。

引理2. 假设( m,g( t ),φ( ⋅,t ) ) 是拓展里奇流的一个解，u= ( 4πτ ) −n/2 e −f 是共轭热方程(1.2)式的基本解，记

h=2δf− | ∇f | 2 s f τ − n τ ,

则h满足发展方程

∂ τ h=δh−2〈 ∇h,∇f 〉− h τ −2 | sy ∇∇f− g 2τ | 2 −2 α n | δφ−〈 ∇φ,∇f 〉 | 2 . (2.2)

证明：由于u= ( 4πτ ) −n/2 e −f 是共轭热方程(1.2)式的解，因此将u代入(1.2)式化简可得

∂ τ f=δf− | ∇f | 2 s− n 2τ .

首先计算h的前两项，

∂ τ δf= ∂ τ ( g ij ∂ i ∂ j f )=δδf−δ | ∇f | 2 δs−2〈 sy,∇∇f 〉,

∂ τ | ∇f | 2 = ∂ τ ( g ij ∇ i f ∇ j f )=2〈 ∇f,∇δf 〉 2〈 ∇f,∇s 〉−2〈 ∇f,∇ | ∇f | 2 〉−2sy( ∇f,∇f ).

注意到有bochner公式

δ | ∇f | 2 =2〈 ∇f,δ∇f 〉 2 | ∇∇f | 2 ,

以及拉普拉斯算子和梯度算子的交换公式

δ∇f=∇δf ric( ∇f,⋅ ),

因此可将∂ τ | ∇f | 2 改写为

∂ τ | ∇f | 2 =δ | ∇f | 2 −2 | ∇∇f | 2 −2〈 ∇f,∇ | ∇f | 2 〉 2〈 ∇f,∇s 〉−4ric( ∇f,∇f ) 2 α n 〈 ∇f,∇φ 〉 2 .

由引理1可知，

∂ τ s=−δs−2 | sy | 2 −2 α n | δφ | 2 .

注意到

δh=2δδf−δ | ∇f | 2 δs δf τ ,

∇h=2∇δf−∇ | ∇f | 2 ∇s ∇f τ .

因此综合上式计算可得

∂ τ h=δh−2〈 ∇h,∇f 〉− h τ −2 | sy ∇∇f− g 2τ | 2 −2 α n | δφ−〈 ∇φ,∇f 〉 | 2 .

由此引理2得证。

定理1的证明：由于v=τhu ，因此

□ * v=( ∂ τ −δ s )τhu=τu( ∂ τ −δ )h−2τ〈 ∇h,∇u 〉 hu. (2.3)

由引理2 (2.2)式可得

( ∂ τ −δ )h=−2〈 ∇h,∇f 〉− h τ −2 | sy ∇∇f− g 2τ | 2 −2 α n | δφ−〈 ∇φ,∇f 〉 | 2 . (2.4)

将(2.4)式代入(2.3)式可得

□ * v=−2τu | sy ∇∇f− g 2τ | 2 −2 α n τu | δφ−〈 ∇φ,∇f 〉 | 2 .

接下来证明对于任意的非负热方程解h( ⋅,τ ) ，有lim τ→0 ∫ v( τ )h( ⋅,τ )dv ≤0 。其证明方法同ni l [7]，曹晓

东等人[8]将这一证明方法进一步推广到了一般流形上，因此在本文中对此证明不做过多赘述，具体证明过程可参考文献[8]中第三节。

由于对于任意的h( ⋅,τ )≥0 ，都有lim τ→0 ∫ v( τ )h( ⋅,τ )dv ≤0 成立，因此有

v=[ τ( 2δf− | ∇f | 2 s ) f−n ]u≤0

而u是热方程的非负解，因此

τ( 2δf− | ∇f | 2 s ) f−n≤0

由此定理1得证。

3. 证明方法分析

相较于其他证明harnack不等式的方法(如[9])常使用多种繁琐的数学技巧和涉及多样的不等式，而本文所采用的证明方法依托于共轭热方程使用基本的求导运算即可先行得到(1.3)式，进而可以使用常规的证明方法即可证得harnack不等式，证明过程简单易懂、可读性强。

在[10]-[14]等文献中，诸多学者研究了诸如在平均曲率流、高斯曲率流、yamabe流等下harnack不等式的证明，本文中的证明方法有望进一步推广到上述曲率流中，证明其中共轭热方程的harnck不等式。

本文中所采用的证明仍存在一定局限性，对于形如[15] [16]中矩阵形式的harnack不等式是否可行仍有待商榷；同时如果不借助共轭热方程或者热方程，此证明方法能否推广到一般形式的harnack不等式证明亦未可知。

参考文献