浅谈高等数学中的神奇常数-凯发娱乐官网

1. 引言

英国哲学家罗素(bertrand russell)曾经说过：数学里不仅有很多真理，而且有着极致的美。这种美冷峻如雕塑，……，它极纯净，能够向我们展示只有最伟大的艺术才具有的完美。

e和π是高等数学课程中最重要的两个常数，比如被誉为最优美的数学公式之一的euler公式—— e i π 1 = 0 ，中间就含有e和π。高等数学的课程中包含了关于这两个常数丰富的内容，也得到了许多漂亮的结果。但是在中学的时候，我们就知道e和π都是无理数，可是并没有给出严格的证明，即使是在通常的高等数学课程中，也并没有给出这两个常数为无理数的证明。在此我们将给出严格证明，同时讲好讲透这两个常数，使学生了解这两个常数在数学中的地位，并从这两个常数来体会数学的“美”，对于提高学生的学习兴趣，提高教学效果，具有重要的意义。

2. 常数π

2.1. 常数π的定义

圆的周长与直径的比定义为圆周率π，则单位圆的半周长为π，但单位圆的面积为什么等于π，则是需要证明的。

我们先定义曲线的长度：将曲线作划分，将分点联结起来，得到一条折线，折线的长度是可以计算的。如果随着划分的加细，折线的长度有极限，且极限值与划分的加细无关，则此极限值就定义为曲线的长度。换言之，曲线的长度为折线长度的极限。

设单位圆内接正n边形的半周长为 l n ，则 l n = n sin 180 ∘ n 。容易证明数列 { l n } 单调增加有上界，所以由高等数学中的单调有界数列必收敛，可知道 { l n } 收敛 [1] ，而极限值应该就是单位圆的半周长，即π： lim n → ∞ n sin 180 ∘ n = π 。由于单位圆的半周长为π，我们就把半个圆周所对的圆心角(即180˚)的弧度定义为π，其余角度的弧度则按比例得到。于是按弧度制上式可写成 lim n → ∞ n sin π n = π 。

设单位圆的面积为 s n ，单位圆的内接正n边形的面积为 s ′ n ，外切正n边形的面积为 s ″ n ，则 s ′ n < s n < s ″ n 。由于 lim n → ∞ s ′ n = lim n → ∞ n sin π n cos π n = π ， lim n → ∞ s ″ n = lim n → ∞ n tan π n = π 。由两边夹原理 [2] ，可知单位圆的面积等于π。

2.2. 常数π为无理数

虽然从刚刚接触常数π开始，一直强调其为无理数，但是并没有给出严格的证明。因为常数π为无理数的证明不像证明 2 为无理数那么初等。此处我们严格来证明常数π为无理数这个结论。

反证法。假设常数π为有理数，那么 π = q p ，其中 p , q 均为正整数。考虑函数

f ( x ) = x n ( q − p x ) n n ! ,

则 f ( 0 ) = f ( π ) = 0 ， f ( 2 n 2 ) ( x ) = 0 。于是对于 0 < m ≤ 2 n ，由leibniz公式有

f ( m ) ( x ) = 1 n ! ∑ k = 0 m c m k ( x n ) ( k ) ( ( q − p x ) n ) ( m − k ) ,

注意到

( x n ) x = 0 ( k ) = { 0 , k ≠ n n ! , k = n ， ( ( q − p x ) n ) x = 0 ( m − k ) = 整数，从而有 f ( m ) ( 0 ) = 整数，

p ! ( x n ) x = π ( k ) = 整数， ( ( q − p x ) n ) x = π ( m − k ) = { 0 , m − k ≠ n n ! , m − k = n ，从而有 f ( m ) ( π ) = 整数。

可知， f ( x ) 及其直到2n 2阶的导数在 x = 0 和 x = π 时取整数。于是定义函数

f ( x ) = f ( x ) − f ( 2 ) ( x ) f ( 4 ) ( x ) − ⋯ ( − 1 ) n f ( 2 n ) ( x ) ,

则 f ( x ) 在 x = 0 和 x = π 时取整数。再由

d d x ( f ′ ( x ) sin x − f ( x ) cos x ) = ( f ″ ( x ) f ( x ) ) sin x = f ( x ) sin x ,

可知，

∫ 0 π f ( x ) sin x d x = f ( 0 ) f ( π ) ,

为整数。另一方面，当 0 < x < π 以及n充分大的时候，

0 < f ( x ) sin x < π n q n n ! < 1 π ,

从而，

0 < ∫ 0 π f ( x ) sin x d x < 1 ,

这矛盾于 ∫ 0 π f ( x ) sin x d x 为整数。所以，π为无理数。

3. 常数e

3.1. 常数e为无理数

常数e可以由极限来定义， lim n → ∞ ( 1 1 n ) n = e [1] 。实际上仔细推敲关于这个极限的证明过程，我们可以知道，如果令 x n = ( 1 1 n ) n ，则

x n = 1 1 1 2 ! ( 1 − 1 n ) 1 3 ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋯ 1 n ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ( 1 − 3 n ) ⋯ ( 1 − n − 1 n ) = 2 1 2 ! ( 1 − 1 n ) 1 3 ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋯ 1 k ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋯ ( 1 − k − 1 n ) 1 k ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋯ ( 1 − k − 1 n ) [ 1 k 1 ( 1 − k n ) 1 ( k 1 ) ( k 2 ) ( 1 − k n ) ( 1 − k 1 n ) ⋯ 1 ( k 1 ) ( k 2 ) ⋯ n ( 1 − k n ) ( 1 − k 1 n ) ⋯ ( 1 − n − 1 n ) ]

特别的对上式子中的最后一项，我们可以有如下的估计式，

1 k ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋯ ( 1 − k − 1 n ) [ 1 k 1 ( 1 − k n ) 1 ( k 1 ) ( k 2 ) ( 1 − k n ) ( 1 − k 1 n ) ⋯ 1 ( k 1 ) ( k 2 ) ⋯ n ( 1 − k n ) ( 1 − k 1 n ) ⋯ ( 1 − n − 1 n ) ] ≤ 1 k ! [ 1 k 1 1 ( k 1 ) ( k 2 ) ⋯ 1 ( k 1 ) ( k 2 ) ⋯ n ] ≤ 1 k ! [ 1 k 1 1 ( k 1 ) 2 ⋯ 1 ( k 1 ) n − k ] ≤ 1 k ! [ 1 k 1 1 ( k 1 ) 2 ⋯ 1 ( k 1 ) n − k ⋯ ] = 1 k ! 1 k

于是，就有

0 < x n − [ 2 1 2 ! ( 1 − 1 n ) 1 3 ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋯ 1 k ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋯ ( 1 − k − 1 n ) ] < 1 k ! 1 k

令 n → ∞ ，就有

0 < e − [ 2 1 2 ! 1 3 ! ⋯ 1 k ! ] < 1 k ! 1 k ,

如果记 θ = e − [ 2 1 2 ! 1 3 ! ⋯ 1 k ! ] 1 k ! 1 k ，则显然有 0 < θ < 1 。

另一方面，如果假设e为有理数，那么 e = q p ，其中p和q均为正整数。如果令 k = p ，得到

e − [ 2 1 2 ! 1 3 ! ⋯ 1 p ! ] = θ p ! p .

两边乘上 p ! ，就有

( p − 1 ) ! q − r = θ p ,

其中， r = p ! [ 2 1 2 ! 1 3 ! ⋯ 1 p ! ] ，显然为正整数。于是上式等号左边为正整数，右边却为小于1的数，从而矛盾。于是e为无理数 [3] 。

3.2. 常数e的应用

当常数e出现之后，利用微积分的知识，可以得到正确的悬链线方程。实际上，悬链线这个名字是1690年，荷兰物理学家、数学家、天文学家、发明家惠更斯在给德国著名博学家莱布尼茨的一封信中创造的。但历史上，第一个有记载的研究悬链线的是15世纪末的达芬奇。达芬奇有一幅画叫《抱着银貂的女子》，女人的脖子上有一串项链，但具体这个项链应该怎么画它自然下垂的样子呢？它垂下来应该是怎么一条曲线呢？达芬奇当时是想不明白的。大约100年后，意大利伟大的天文学家、物理学家和工程师伽利略是第一个研究悬链线的人，将其形状认定为抛物线。又50年后，17岁的惠更斯证明了伽利略的猜想是错误的。但具体是什么曲线，在当时还不清楚。不过这已经距离正确解决悬链线问题不远了。下面来推导悬链线方程。

问题：有一长为2l的均匀链条，两端悬挂于相同高度，在重力作用下自然下垂，设两悬挂点距离为2a (l > a)，求链条所成的曲线方程。

解答：设两悬挂点的坐标为 ( ± a , h ) ，链条的线密度为 ρ 。由对称性，只考虑链条的右边半段。

在链条上取水平坐标差为 δ x > 0 的一段，记它的长度为 δ l 。该段的两端分别受到张力 t ( x ) 和 t ( x δ x ) 的作用，另外还受到向下的重力作用。记张力t的水平和竖直分量分别为 t x 和 t y ，则水平方向力的平衡条件为：

t x ( x δ x ) = t x ( x ) ,

竖直方向力的平衡条件为：

t y ( x δ x ) = t y ( x ) ρ g δ l .

由于 δ l ≈ 1 ( d y d x ) 2 δ x 得

t x = 常数， d t y d x = ρ g 1 ( d y d x ) 2 。

又注意到 d y d x = t y t x ，从而有

t x d 2 y d x 2 = ρ g 1 ( d y d x ) 2 .

虽然形式上看起来这是一个二阶常微分方程，但是令 v = d y d x ，就可以得到一个关于v的一阶常微分方程

d v d x = β 1 v 2 ,

其中 β = ρ g t x 。

由此得，

d v 1 v 2 = β d x .

令 v = sinh u ，则 u = β ( x c 1 ) ，所以 v = sinh ( β ( x c 1 ) ) ，于是

y = 1 β cosh ( β ( x c 1 ) ) c 2 ,

这里的 c 1 和 c 2 都是积分常数。再由 y ( a ) = y ( − a ) = h ，可得 c 1 = 0 ， c 2 = h − 1 β cosh ( β a ) 。

但是由于 t x 是未知的，所以还需要确定常数 β 。由链条的长度

2 l = ∫ − a a 1 ( d y d x ) 2 d x = 2 β sinh ( β a )

得到 β 所满足的方程

sinh ( β a ) β a = l a .

考虑函数 f ( x ) = sinh x x ( x > 0 ) ，有 f ′ ( x ) = cosh x x 2 ( x − tanh x ) 。又令函数 g ( x ) = x − tanh x ( x > 0 ) ，则 g ′ ( x ) = 1 − 1 ( cosh x ) 2 = tanh 2 x > 0 ，同时注意到 g ( 0 ) = 0 ，所以 g ( x ) > 0 ( x > 0 ) 。因此， f ( x ) 关于x严格单调增加。又注意到 lim x → 0 f ( x ) = 1 ， lim x → ∞ f ( x ) = ∞ 。所以当 l > a 时方程 sinh ( β a ) β a = l a 存在唯一的解。

从而，链条的方程为

y = 1 β ( cosh ( β x ) − cosh ( β a ) ) h ,

其中 β 由方程 sinh ( β a ) β a = l a 唯一确定。

通常将函数 y = 1 β cosh ( β x ) 表示的曲线称为悬链线。

4. 结语

本文主要介绍了数学中的两个常数e和π的严格定义，并以此为基础，利用高等数学中相关的知识严格证明了数学中的两个常数e和π是无理数。同时也严格的给出了单位圆面积为π的证明，并给出了常数e的一个重要应用——推导出了悬链线方程。

参考文献