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浅谈二阶微分方程与kepler三大定律
a brief discussion on second-order differential equations and kepler’s three laws

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作者: 徐建：上海理工大学理学院，上海
关键词: 微分方程；非线性；二体问题；kepler三大定律；differential equations； nonlinearity； two-body problem； kepler’s three laws

摘要: 微积分的一个重要应用就是微分方程，在工科院校的高等数学的课程当中，对于二阶常微分方程会花非常大的力气在二阶常系数线性常微分方程的求解中，对于其余的二阶常微分方程尤其是非线性的常微分方程很少涉及。本文通过对kepler三大行星运动定律的数学推导，来说明非线性常微分方程才是实际当中碰到的大多数，以及微积分作为人类历史上的一项伟大发现的重要意义。

abstract: an important application of calculus is differential equations. in the advanced mathematics courses of engineering colleges, a lot of effort is spent on solving second-order linear differential equations with constant coefficients, while other second-order differential equations, especially nonlinear differential equations, are rarely involved. this paper uses the mathematical derivation of kepler’s three laws of planetary motion to illustrate that nonlinear differential equations are the majority of ordinary differential equations encountered in practice, and the importance of calculus as a great discovery in human history.

文章引用：徐建. 浅谈二阶微分方程与kepler三大定律[j]. 理论数学, 2024, 14(10): 255-260.

1. 引言

常微分方程作为一元微积分学的直接应用，无论在实际中还是高等数学课程讲授当中，都是非常重要的。而一般的工科院校关于常微分方程都是作为高等数学课程当中的一个章节来讲授[1]，因此受制于课时的限制，一般工科院校的常微分方程通常会比较详尽的介绍一阶常微分方程的分离变量法和一阶线性常微分方程的理论，对于高阶常微分方程，通常会介绍高阶线性微分方程解的结构，对于如何求解高阶常微分方程几乎都只限定于介绍二阶常系数线性微分方程的求解，并且很少有时间例举一些常微分方程实际的应用，无法让学生感受到微积分作为人类历史上的一项伟大发现的重要意义。我们用kepler发现的三大行星运动定律来介绍常微分方程作为微积分的直接应用，在处理实际问题中的强大威力。

2. kepler三大定律的诞生

kepler三大定律是德国天文学家、数学家和物理学家kepler发现的关于行星运动的三条定律。kepler是十七世纪科学革命的关键人物，被誉为“近代天文学之父”。他于1609年在他出版的《新天文学》中首次提出了kepler第一定律和kepler第二定律，10年后，于1619年在他出版的《宇宙的和谐》中提出了kepler第三定律。历史上，newton正是基于kepler的三大定律才推导出万有引力定律。

kepler第一定律也被称为椭圆定律或者轨道定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。

第二定律，也称面积定律：在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线(向量半径)所扫过的面积都是相等的。这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。

第三定律，也称调和定律；也称周期定律：各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

3. kepler三大定律的推导

首先，我们来看所谓的二体问题。二体问题是指两个天体在万有引力的作用下的运动。假设有两个天体(例如太阳和地球)，其质量分别为 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ ，位置分别为 $\vec{r_{1}}$ 和 $\vec{r_{2}}$ 。天体1对天体2的万有引力为 $- \frac{g m_{1} m_{2}}{{| \vec{r_{2}} - \vec{r_{1}} |}^{3}} (\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}})$ 。根据newton第二定律[2]，有运动方程：

$m_{1} \frac{d^{2} \vec{r_{1}}}{d t^{2}} = \frac{g m_{1} m_{2}}{{| \vec{r_{2}} - \vec{r_{1}} |}^{3}} (\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}}) ，$

$m_{2} \frac{d^{2} \vec{r_{2}}}{d t^{2}} = - \frac{g m_{1} m_{2}}{{| \vec{r_{2}} - \vec{r_{1}} |}^{3}} (\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}}) 。$

定义质心坐标 $\vec{r} = \frac{m_{1} \vec{r_{1}} m_{2} \vec{r_{2}}}{m_{1} m_{2}}$ ，两个天体相对质心的坐标 ${\vec{r}}_{1} = \vec{r_{1}} - \vec{r}$ ， ${\vec{r}}_{2} = \vec{r_{2}} - \vec{r}$ ，则 $\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}} = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}} {\vec{r}}_{2}$ 。方程变为：

$\frac{d^{2} \vec{r}}{d t^{2}} = 0 ， \frac{d^{2} {\vec{r}}_{2}}{d t^{2}} = - \frac{g m_{1}^{3}}{{(m_{1} m_{2})}^{2}} \frac{{\vec{r}}_{2}}{{| {\vec{r}}_{2} |}^{3}} 。$

于是质心做匀速直线运动，而对天体2，它受到的引力相当于在质心位置有一个质量为 $\frac{m_{1}^{3}}{{(m_{1} m_{2})}^{2}}$ 的质点产生的引力。所以，对于二体问题，总可以归结为一个天体在另一个静止的天体产生的引力场中的运动。

对于我们考虑的太阳和行星，两者的质量相差很大，他们的质心同太阳中心很近，而

$\frac{m_{日}^{3}}{{(m_{日} m_{行})}^{2}} \approx m_{日} 。$

所以可以近似地假设太阳不动，行星绕太阳公转。于是，我们假设太阳静止不动，质量为m，行星的质量为m，我们来探求行星的轨道。

首先，行星相对太阳的位置向量 $\vec{r}$ 满足

$\frac{d^{2} \vec{r}}{d t^{2}} = - \frac{gm}{{| \vec{r} |}^{3}} \vec{r} 。$

假设行星的初始位置和初始速度分别为 $\vec{r} (0) = {\vec{r}}_{0} ， \frac{d \vec{r}}{d t} (0) = {\vec{v}}_{0} ，$ 这里 ${\vec{r}}_{0} \times {\vec{v}}_{0} \neq \vec{0}$ 。记 $\vec{n} = {\vec{r}}_{0} \times {\vec{v}}_{0} ， u = \vec{r} \cdot \vec{n} ， r = | \vec{r} | ，$ 则

$\frac{d^{2} u}{d t^{2}} = - \frac{gm}{r^{3}} u ， u (0) = 0 ， \frac{d u}{d t} (0) = 0 。$

由解的唯一性定理，得 $u \equiv 0$ 。所以行星得运动必在过太阳并且法向量为 $\vec{n}$ 的平面上，记该平面为x-y平面。

于是，运动方程就变为：

$m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{g m m}{r^{3}} x ， m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = - \frac{g m m}{r^{3}} y ， r = \sqrt{x^{2} y^{2}} 。$

由此，可得

$m (\frac{d x}{d t} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{d y}{d t} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}) = - \frac{g m m}{r^{3}} (x \frac{d x}{d t} y \frac{d y}{d t}) ， m (x \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - y \frac{d^{2} x}{d t^{2}}) = 0 ，$

即

$\frac{m}{2} \frac{d}{d t} ({(\frac{d x}{d t})}^{2} {(\frac{d y}{d t})}^{2}) - \frac{d}{d t} \frac{g m m}{r} = 0 ， m \frac{d}{d t} (x \frac{d y}{d t} - y \frac{d x}{d t}) = 0 。$

因此，得到能量守恒和角动量守恒

$\frac{m}{2} ({(\frac{d x}{d t})}^{2} {(\frac{d y}{d t})}^{2}) - \frac{g m m}{r} = e ， m (x \frac{d y}{d t} - y \frac{d x}{d t}) = j ，$

其中，能量e和角动量j均为常值。利用直角坐标与极坐标之间的关系， $x = r \cos θ ， y = r \sin θ ，$ 上式可以写为：

$\frac{m}{2} ({(\frac{d r}{d t})}^{2} r^{2} {(\frac{d θ}{d t})}^{2}) - \frac{g m m}{r} = e ， m r^{2} \frac{d θ}{d t} = j 。$

将上式中的后一等式代入前一等式并化简得

$\frac{d r}{d t} = \pm \sqrt{\frac{2 e}{m} \frac{2 g m}{r} - \frac{j^{2}}{m^{2} r^{2}}} ， \frac{d θ}{d t} = \frac{j}{m r^{2}} 。$

再令 $u = \frac{1}{r}$ ，则

$\frac{d u}{d θ} = \mp \frac{1}{j} \sqrt{2 m e 2 g m m^{2} u - j^{2} u^{2}} = \mp \frac{1}{j} \sqrt{- {(j u - \frac{g m m^{2}}{j})}^{2} 2 m e \frac{g^{2} m^{2} m^{4}}{j^{2}}} ，$

要使上式成立，必须 $2 m e \frac{g^{2} m^{2} m^{4}}{j^{2}} > 0$ 。于是，令

$v = u - \frac{g m m^{2}}{j^{2}} ， σ = \sqrt{\frac{2 m e}{j^{2}} \frac{g^{2} m^{2} m^{4}}{j^{4}}} ，$

则，

$\frac{d v}{d θ} = \mp \sqrt{σ^{2} - v^{2}} 。$

因此， $v = σ \cos (θ c) ，$ 其中c为常数。于是，

$r = \frac{j^{2}}{g m m^{2}} \frac{1}{1 \frac{j^{2} σ}{g m m^{2}} \cos (θ c)} 。$

再将 $σ$ 的表达式代入，就得到行星的轨道方程，

$r = \frac{\frac{j^{2}}{g m m^{2}}}{1 \sqrt{1 \frac{2 e j^{2}}{g^{2} m^{2} m^{3}}} \cos (θ c)} 。$ (1)

显然，这是一条二次曲线，其离心率为

$e = \sqrt{1 \frac{2 e j^{2}}{g^{2} m^{2} m^{3}}} 。$

由于行星的总机械能 $e < 0$ ，所以轨道是个椭圆。注意到给定位置和速度时，e和j均匀m成正比，因此从轨道方程(1)可以看出，行星的轨道与其质量没有关系。

接下来我们就来看由轨道方程(1)可以得出kepler三大定律。首先，轨道方程(1)直接得出kepler第一定律：行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳在其中的一个焦点上。

然后，由角动量守恒， $j = m r^{2} \frac{d θ}{d t}$ 是常数，在dt时间内行星与太阳的连线在轨道内扫过的面积为 $\frac{1}{2} r^{2} d θ = \frac{j}{2 m} d t$ ，因此得到kepler第二定律：单位时间内行星与太阳的连线在轨道内部扫过的面积为常数 $\frac{j}{2 m}$ 。

最后，来看kepler第三定律。由 $j = m r^{2} \frac{d θ}{d t}$ 得到周期为

$t = \int_{0}^{2 π} \frac{d t}{d θ} d θ = \frac{m}{j} \int_{0}^{2 π} r^{2} d θ = \frac{j^{3}}{g^{2} m^{2} m^{3}} \int_{0}^{2 π} \frac{1}{{(1 - e \cos θ)}^{2}} d θ = \frac{j^{3}}{g^{2} m^{2} m^{3}} \frac{2 π}{{(1 - e^{2})}^{\frac{3}{2}}} 。$

在这里 $\int_{0}^{2 π} \frac{1}{{(1 - e \cos θ)}^{2}} d θ$ 积分的计算需要一定的技巧。当然用万能代换求也可以，但是计算量非常大。我们利用幂函数的taylor级数来计算

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{{(1 - e \cos θ)}^{2}} d θ = \int_{0}^{2 π} \sum_{n = 0}^{\infty} (n 1) e^{n} \cos^{n} θ d θ 。$

由于离心率 $0 \leq e < 1$ ，由weierstrass判别法[3]，被积函数中的级数关于 $θ \in [0, 2 π]$ 是一致收敛的，从而可以逐项积分。再由 $\int_{0}^{2 π} \cos^{2 k 1} x d x = 0$ 及

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2 k} x d x = \frac{2 \sqrt{π}}{k!} γ (k \frac{1}{2})$

其中 $γ (x)$ 表示gamma函数，得

$\begin{matrix} \int_{0}^{2 π} \frac{1}{{(1 - e \cos θ)}^{2}} d θ = \sum_{k = 0}^{\infty} (2 k 1) e^{2 k} \int_{0}^{2 π} \cos^{2 k} θ d θ \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{2 \sqrt{π}}{k!} (2 k 1) γ (k \frac{1}{2}) e^{2 k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{4 \sqrt{π}}{k!} (k \frac{1}{2}) (k - \frac{1}{2}) (k - \frac{3}{2}) \dots \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} γ (\frac{1}{2}) e^{2 k} \end{matrix}$

利用 $γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π}$ [2]，上式为

$\begin{matrix} \int_{0}^{2 π} \frac{1}{{(1 - e \cos θ)}^{2}} d θ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{2 π}{k!} (- \frac{3}{2}) (- \frac{5}{2}) \dots (- k \frac{1}{2}) (- k - \frac{1}{2}) (k - \frac{3}{2}) \dots {(- e^{2})}^{k} \\ = \frac{2 π}{{(1 - e^{2})}^{\frac{3}{2}}} 。 \end{matrix}$

另一方面，椭圆轨道的半长轴为

$a = \frac{1}{2} \frac{j^{2}}{g m m^{2}} (\frac{1}{1 - e} \frac{1}{1 e}) = \frac{j^{2}}{g m m^{2}} \frac{1}{1 - e^{2}}$

所以，

$\frac{t^{2}}{a^{3}} = \frac{4 π^{2}}{g m} ，$

其仅与太阳的质量有关。这就是kepler第三定律：行星运动的周期平方与其轨道的半长轴的立方之比为常数。

4. 结语

微分方程理论是微积分这门学科能够成为现代自然科学强有力的工具的一个非常重要的应用场所。自然界的绝大多数现象都是非线性的，但是所有的非线性的分析都以线性微分方程理论作为基础，因此，在初学的过程当中，会着重介绍线性微分方程的理论及其解法，这为以后的非线性分析打好基础，而我们希望通过上述的实例能够激起学生对于大学数学的学习兴趣。

参考文献

[1]	同济大学数学系. 高等数学(第七版)上册[m]. 北京: 高等教育出版社, 2014.
[2]	汪家訸. 分析力学[m]. 北京: 高等数学出版社, 1982.
[3]	华东师范大学数学系. 数学分析(第三版)上册[m]. 北京: 高等教育出版社, 2001.

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